Le critère de Routh
Voici le premier critère et le plus simple
permettant d'analyser la stabilité des systèmes linéaire asservis. Soit le dénominateur de la fonction de transfert
d'un système
avec
Le critère de
Routh permet de déterminer si les racines de l'équation caractéristique du système sont à parties réelles positives ou
non sans calculer explicitement ces racines
Condition nécessaire:
Une condition nécessaire de stabilité est que tous les
coefficients de D(s)
soient strictement de même signe. Condition nécessaire et suffisante:
Si la condition nécessaire est vérifiée, if faut construire
le tableau de Routh
Ligne 1
an
an-2
an-4
an-6
…
Ligne2
an-1
an-3
an-5
an-7
Ligne 3
a31
a32
a33
a34
Ligne 4
a41
a42
a43
a44
Le tableau a au plus n+1
lignes ( n: ordre de D (s))
De nous pouvons énoncer le critère de Routh:
Un système est asymptotiquement stable si et seulement si
tous les coefficients de la première colonne du tableau de Routh sont tous de
même signe.
Tableau De Route De La Soie
Le polynôme du troisième ordre a toutes les racines dans le demi-plan gauche ouvert si et seulement si, sont positifs et
En général, le critère de stabilité de Routh indique qu'un polynôme a toutes les racines dans le demi-plan gauche ouvert si et seulement si tous les éléments de la première colonne du tableau de Routh ont le même signe. Exemple d'ordre supérieur
Une méthode tabulaire peut être utilisée pour déterminer la stabilité lorsque les racines d'un polynôme caractéristique d'ordre supérieur sont difficiles à obtenir. Pour un polynôme au n ème degré
le tableau comporte n + 1 lignes et la structure suivante:
où les éléments et peuvent être calculés comme suit:
Une fois terminé, le nombre de changements de signe dans la première colonne sera le nombre de racines non négatives. 0, 75
1, 5
0
-3
6
3
Dans la première colonne, il y a deux changements de signe (0, 75 → −3 et −3 → 3), il y a donc deux racines non négatives où le système est instable. L'équation caractéristique d'un système d'asservissement est donnée par:
=
pour la stabilité, tous les éléments de la première colonne du tableau Routh doivent être positifs.
Tableau De Routine
Dans le cas où le point de départ est sur une incongruité (i. e., je = 0, 1, 2,... ) le point final sera également sur une incongruité, par l'équation (17) (puisque est un entier et est un entier, sera un entier). Dans ce cas, on peut obtenir ce même indice (différence des sauts positifs et négatifs) en décalant les axes de la fonction tangente de, en ajoutant à. Ainsi, notre indice est maintenant entièrement défini pour toute combinaison de coefficients dans en évaluant sur l'intervalle (a, b) = lorsque notre point de départ (et donc d'arrivée) n'est pas une incongruité, et en évaluant sur ledit intervalle lorsque notre point de départ est à une incongruité. Cette différence,, des incongruités de saut négatives et positives rencontrées lors de la traversée de à est appelé l'indice de Cauchy de la tangente de l'angle de phase, l'angle de phase étant ou alors, selon que est un multiple entier de ou pas. Le critère de Routh Pour dériver le critère de Routh, nous allons d'abord utiliser une notation différente pour différencier les termes pairs et impairs de: Maintenant nous avons: Par conséquent, si est même, et si est impair: Observez maintenant que si est un entier impair, alors par (3) est impair.
Tableau De Route Du Rhum
Cas particulier du critère de ROUTH et forme générale - YouTube
Tableau De Routine Montessori
Soit la fonction de transfert sous sa forme polynomiale:
Le critère de Jury étudie la position des racines du
polynôme caractéristique A(z), à l'intérieur du
cercle unité. Soit,
avec. On construit le tableau à 2n-3 lignes suivant:
Les premières lignes sont construites à partir des coefficients
ai, du polynôme caractéristique A(z).
(Cf. exemple 3)
Critère de
v1. 3 – 24. 03. 2004
Exemples
4
3
2
1. D(p) = p + p + 3. p + p + 1
0, 5
-1
c1 =
d0 =
b2 =
1 3
1 1
2 1
2 1
0, 5 0
=2;
= 0, 5;
c-1 =
b0 =
1
2
1
0 =1
0
0 =0
=1
En conclusion: Système stable
2. D(p) = p + p + 2. p + 2. p + 1
1 2
=0;
1 1 =1
1 0
On note ici que le pivot devient nul, ce qui ne permet pas de poursuivre. La méthode consiste alors à
remplacer le polynôme de départ par un polynôme « à même stabilité », par exemple en le multipliant par un
polynôme dont on connaît les racines, choisies bien évidemment réelles et négatives. La solution la plus
simple est donc ici de prendre comme nouveau polynôme Da(p)=(p+a). D(p), avec a réel positif, 1. 5
D1(p) = p + 2. p + 3. p + 4. p + 1
2, 5
3, 5
-1 1 3
2 2 4
-1 2 4
c2 =
1 1 2, 5
-1 1 2, 5
d1 =
-1 -1 1
e0 =
3, 5 3, 5 0
b3 =
=1;
= -1;
= 3, 5;
c0 =
d-1 =
b1 =
3
1 = 2, 5
4
0 =4
En conclusion: Système instable
3. D(p) = p + p + 5. p + 4
5
Le polynôme reconstitué à partir de la ligne 3 est p2+4,
qui admet ±2j pour racines et pour polynôme
dérivé 2. p. D'où la reconstitution du tableau pour
poursuivre l'étude:
1 4
2 0
=4
En conclusion: Système stable, mais oscillant
v1.
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