Une fonction holomorphe (dérivable au sens complexe) est analytique, ce qui donne une place de choix aux séries entières en analyse complexe. Séries entières | Licence EEA. EN RÉSUMÉ Les séries entières, qui tirent leur nom du fait que seules des puissances entières de la variable entrent en jeu, occupent une place à part dans l'univers infini des séries. La question centrale de l'étude des séries étant leur convergence, l'existence d'un rayon de convergence (calculable par de nombreuses méthodes) pour les séries entières en fait un outil très précieux. En outre, les séries entières permettent de représenter « simplement » les fonctions usuelles, ce qui a ouvert le champ très fertile de l'étude des fonctions analytiques.
- Séries entières. Développement des fonctions usuelles en séries entières - YouTube
- Méthodes : séries entières
- Chapitre 11 : Séries Entières - 3 : Somme d'une Série Entière de variable réelle
- Séries entières | Licence EEA
- Séries numériques, suites et séries de fonctions, séries entières
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Séries Entières. Développement Des Fonctions Usuelles En Séries Entières - Youtube
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La théorie des séries entières exprime la majorité des fonctions usuelles comme somme de séries. Ceci permet de démontrer des propriétés de ces fonctions, de calculer des sommes compliquées et également de résoudre des équations différentielles. À partir des séries entières, on peut définir des séries formelles pour lesquelles la variable est une indéterminée. On peut alors utiliser les outils des séries entières sans avoir à s'inquiéter de la notion de convergence. Objectifs
Les objectifs de cette leçon sont:
Savoir calculer un rayon de convergence. Savoir faire un développement en série entière. Connaitre les développements en séries entières des fonctions usuelles. Modifier ces objectifs
Niveau et prérequis conseillés
Leçon de niveau 15. Séries entières usuelles. Les prérequis conseillés sont:
Série numérique
Suites et séries de fonctions: notion de convergence
Modifier ces prérequis
Référents
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Méthodes : Séries Entières
( voir cet exercice)
Démontrer qu'une fonction est de classe $\mathcal C^\infty$ en utilisant les séries entières
Pour démontrer qu'une fonction est de classe $\mathcal C^\infty$ au voisinage de $0$, il suffit de démontrer
qu'elle est développable en série entière en $0$ ( voir cet exercice)
Calculer le terme général d'une suite récurrente à l'aide d'une série entière
Pour calculer le terme général d'une suite $(a_n)$ vérifiant une relation de récurrence, on peut introduire la série génératrice associée
$$S(x)=\sum_n a_n x^n$$
ou encore parfois la série entière
$$T(x)=\sum_n \frac{a_n}{n! }x^n. $$
A l'aide de la formule de récurrence définissant $(a_n)$, on essaie de trouver une formule algébrique faisant intervenir $S$ et éventuellement ses dérivées ($T$ si on travaille avec la deuxième série génératrice). Méthodes : séries entières. À l'aide de cette formule, on essaie de trouver la valeur de $S$, puis d'en déduire $a_n$ ( voir cet exercice ou cet exercice).
Chapitre 11 : SÉRies EntiÈRes - 3 : Somme D'une SÉRie EntiÈRe De Variable RÉElle
On s'intéresse à la régularité de la série entière à l'intérieur de son intervalle de convergence $]-R, R[$. Théorème (intégration d'une série entière): Soit $f(x)=\sum_{n\geq 0}a_nx^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$ et soit $F$
une primitive de $f$. Alors, pour tout $x\in]-R, R[$,
$$F(x)=F(0)+\sum_{n\geq 0}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}. $$
Théorème (dérivation terme à terme): Soit $f(x)=\sum_{n\geq 0}a_nx^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$. Alors $f$ est de classe $\mathcal C^\infty$ sur $]-R, R[$. De plus, pour tout $x\in]-R, R[$ et tout $k\geq 0$, on a
$$f^{(k)}(x)=\sum_{n\geq k}n(n-1)\cdots(n-k+1)a_n x^{n-k}. $$
Théorème (expression des coefficients d'une série entière): Soit $f(x)=\sum_{n\geq 0}a_nx^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$. Séries entières. Développement des fonctions usuelles en séries entières - YouTube. Alors, pour tout $n\geq 0$,
$$a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n! }. $$
Corollaire: Si $f(x)=\sum_{n\geq 0}a_nx^n$ et $g(x)=\sum_{n\geq 0} b_nx^n$ coïncident sur un voisinage de $0$, alors pour tout $n\geq 0$, $a_n=b_n$.
Séries Entières | Licence Eea
Cas de la variable complexe
Théorème (dérivabilité de la variable complexe): Soit $f(z)=\sum_{n\geq 0}a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$. Alors, pour tout $z_0\in D(0, R)$,
$$\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}=\sum_{n\geq 1}n a_n z_0^{n-1}. $$
Développements en série entière
Soit $I$ un intervalle contenant $0$ et $f:I\to\mathbb R$. On dit que $f$ est développable en série entière en 0 s'il existe $r>0$ et une suite $(a_n)$ tels que, pour tout $x\in]-r, r[$, on ait
$f(x)=\sum_{n\geq 0}a_n x^n$. En particulier, une fonction développable en série entière en $0$ est de classe $\mathcal C^\infty$ au voisinage de $0$. Une combinaison linéaire de fonctions développables en série entière est développable en série entière. Le produit de deux fonctions développables en série entière est développable en série entière. Il en est de même de la dérivée ou d'une primitive d'une fonction développable en série entière. Corollaire: Soit $I$ un intervalle contenant $0$ et $f:I\to\mathbb R$.
Séries Numériques, Suites Et Séries De Fonctions, Séries Entières
Déterminer la somme d'une série entière
Pour exprimer la somme d'une série entière à l'aide des fonctions classiques, on se ramène toujours aux développements en série entière usuels. Pour cela, on peut utiliser plusieurs astuces:
Pour une série entière du type $\sum_n \frac{P(n)}{n! }z^n$, on exprime $P(X)$ dans la base $X, X(X-1), X(X-1)(X-2), \dots$ afin de se ramener à la série de l'exponentielle
( voir cet exercice). Pour une série entière du type $\sum_n F(n)z^n$ où $F$ est une fraction rationnelle, on décompose $F$ en éléments simples ( voir cet exercice);
S'il y a des multiplies de $n$ ou de $1/(n+1)$ par rapport aux séries classiques, penser à intégrer ou à dériver ( voir cet exercice).
Ainsi, la fonction et son développement en série entière sont: définies et égales sur, définies et continues toutes les deux en, on a ainsi l'égalité entre la fonction et la série entière en 1 et donc sur. Remarque: Ce procédé est très usuel pour « prolonger » l'égalité entre la fonction et son développement en série entière à une borne de l'intervalle de convergence. Il est régulièrement utilisé par les problèmes. est la primitive nulle en 0 de qui est aussi la somme d'une série géométrique. La convergence en et en s'obtient encore par application du critère spécial. L'égalité entre la fonction et la série entière en et en s'obtient encore en utilisant: l'égalité de la fonction et de la série entière sur, la continuité de la fonction et de la série entière en et. Pour, avec, on applique la formule de Taylor avec reste intégral: Or, on montre assez facilement que:, ce qui donne: On montre ensuite que cette quantité tend vers 0 en calculant l'intégrale et en montrant par application du théorème de d'Alembert que c'est le terme général d'une série convergente.
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