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dilzydils
Membre Relatif Messages: 140 Enregistré le: 02 Aoû 2005, 16:43
stricte croissance de l'intégrale? par dilzydils » 25 Déc 2006, 18:11
Bonjour
Pourquoi parle-t-on toujours de croissance de l'integrale et non pas de strict croissance.. En effet si f et g sont 2 fonctions continues, tel que f
Merci
Zebulon
Membre Complexe Messages: 2413 Enregistré le: 01 Sep 2005, 12:06
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Croissance De L Intégrale D
31/03/2005, 18h27
#1
Deepack33
Croissance d'une suite d'intégrales
------
bonjour, je souhaiterais montrer que la suite In est croissante
In= integral(x²e^(-x)) borne [0; n]
je part donc du principe que si In est croissante alors In+1 - In supérieur a 0
dois je développer In+1 et In et ensuite montrer l'inégalité?? merci
-----
31/03/2005, 18h35
#2
matthias
Re: Porblème croissance intérgale
L'intégrale de n à n+1 d'une fonction positive étant positive....
pas vraiment besoin de calcul d'intégrales. Intégration sur un segment. 31/03/2005, 18h47
#3
bien vu
merci bcp Discussions similaires Réponses: 2
Dernier message: 18/04/2007, 11h07 Réponses: 6
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Dernier message: 25/10/2004, 18h14 Réponses: 3
Dernier message: 20/10/2004, 21h16 Fuseau horaire GMT +1. Il est actuellement 14h57.
Il est clair que F s'annule en a,
et pour toute autre primitive G de f s'annulant en a,
la différence F − G est de dérivée nulle donc est constante
mais s'annule en a, donc F − G = 0. Toute fonction continue sur un intervalle I de R admet une primitive sur I. Au lieu d'utiliser l'intégrale de Riemann, on peut aussi démontrer ce corolaire d'une autre manière et transformer le théorème fondamental de l'analyse en définition de l'intégrale pour une fonction continue. Les propriétés de l'introduction s'en déduisent facilement. Soit f une fonction continue
sur un intervalle I
et F une primitive de f
sur cet intervalle. Croissance de l intégrale la. Alors pour tout ( a, b) ∈ I 2 on a ∫ a b f ( t) d t = [ F ( t)] a b = F ( b) − F ( a). Cette propriété permet de calculer de nombreuses intégrales grâce aux formules de dérivées des fonctions de référence. Intégration par parties
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, avec g dérivable sur I. Soit F une primitive de f sur I et ( a, b) ∈ I 2. Alors on a ∫ a b f ( t) g ( t) d t
= [ F ( t) g ( t)] a b − ∫ a b F ( t) g ′( t)d t.
Croissance De L Intégrale La
Introduction
Il existe plusieurs procédés pour définir l'intégrale d'une fonction réelle f continue sur un segment [ a, b] de R. Si la fonction est positive, cette intégrale, notée ∫ a b f ( t) d t, représente l'aire du domaine délimité au dessus de l'axe des abscisses et en dessous de la courbe, entre les deux axes verticaux d'équation x = a
et x = b dans le plan muni d'un repère orthonormé. Dans le cas général, l'intégrale mesure l' aire algébrique du domaine délimité par la courbe et l'axe des abscisses, c'est-à-dire que les composantes situées sous l'axe des abscisses sont comptées négativement. Par convention, on note aussi ∫ b a f ( t) d t = − ∫ a b f ( t) d t. Positivité de l'intégrale. L' intégrale de Riemann traduit analytiquement cette définition géométrique, qui aboutit aux propriétés fondamentales suivantes. Cohérence avec les aires de rectangles
Pour toute fonction constante de valeur c ∈ R
sur un intervalle I de R,
pour tout ( a, b) ∈ I 2,
on a
∫ a b c d t = c × ( b − a). Positivité
Soit f une fonction continue et positive
sur un segment [ a, b].
Théories Propriétés de l'intégrale Propriétés de base Propriété Relation de Chasles Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, alors pour tous nombres réels $a$, $b$ et $c$ de $I$, nous avons:\[\int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}=\int_a^c{f(x)\;\mathrm{d}x}+\int_c^b{f(x)\;\mathrm{d}x}. \] Voir l'animation Voir l'idée de preuve Supposons d'abord que $f$ est positive sur $I$. Dans ce cas, la relation de Chasles résulte de $\mathrm{aire}(\Delta_f)=\mathrm{aire}(\Delta)+\mathrm{aire}(\Delta')$ Nous admettrons la validité de cette propriété dans le cadre général. Croissance de l intégrale d. Propriété Linéarité de l'intégrale Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$. Alors pour tous nombres réels $a$ et $b$ de $I$, et tout réel $\alpha$ nous avons: $\displaystyle\int_a^b{\bigl(f(x)+g(x)\bigr)\;\mathrm{d}x}=\int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}+\int_a^b{g(x)\;\mathrm{d}x}$ $\displaystyle\int_a^b{\alpha f(x)\;\mathrm{d}x}=\alpha \int_a^b{f(x)\;\mathrm{d}x}$ Propriété Positivité de l'intégrale Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $I$.
Croissance De L Intégrale De L'article
Évidemment, si elles sont égales, l'intégrale est nulle. Sinon, la valeur obtenue exprimée en unités d'aire (u. a. ) est égale à une primitive en \(b\) moins une primitive en \(a, \) soit \(F(b) - F(a). \) Une u. est l'aire du rectangle construit à partir des deux normes du plan (une largeur de 1 et une hauteur de 1). Comme une intégrale détermine une aire, elle ne peut pas être négative. Note: on utilise une primitive sans constante inutile: on voit bien qu'elle serait soustraite à elle-même. Prenons un exemple simple, tiré de l'épreuve du bac ES (juin 2007, Amérique du nord):
\(f(x) = -1 + \frac{1}{2x - 1}, \) calculer \(\int_1^3 {f(x)dx} \)
La fonction est définie et continue sur \([1\, ;3]. \) Le quotient se présente sous une forme \(\frac{u'(x)}{u(x)}\) à condition de le multiplier par \(\frac{1}{2}. \) C'est une dérivée logarithmique. Intégrale généralisée. On indique la primitive sans constante entre crochets puis on soustrait \(F(3) – F(1)\):
\(\left[ { - x + \frac{1}{2}\ln (2x - 1)} \right]_1^3\) \(=\) \(-2 + \frac{1}{2}\ln 5\)
Notez que cette fonction est négative sur l'intervalle étudié.
Inégalités de la moyenne
Soit f une fonction continue sur un segment [ a, b] non dégénéré. Si f est minorée par m et majorée par M alors on a
m
≤ 1 /
( b − a) ∫ a b f ( t) d t ≤ M.
m ≤ f ( t) ≤ M
donc ∫ a b m d t
≤ ∫ a b M d t
c'est-à-dire m × ( b − a)
≤ M × ( b − a). Relations avec la dérivée
Théorème fondamental de l'analyse
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I non dégénéré. Soit a ∈ I. La fonction F: x ↦ ∫ a x f ( t) d t est la primitive de f qui s'annule en a. Soit x ∈ I et h ∈ R +∗ tel que x + h ∈ I. Le taux d'accroissement de F entre x et x + h se note
1 / h ∫ x x + h f ( t) d t,
c'est-à-dire la valeur moyenne de la fonction sur l'intervalle entre x et x + h (quel que soit le signe de h). Pour tout intervalle ouvert J contenant f ( x),
il existe un intervalle ouvert contenant x d'image dans J,
donc par inégalités de la moyenne, le taux d'accroissement appartient aussi à J. Finalement, le taux d'accroissement de F en x tend vers f ( x)
donc la fonction F est dérivable en x
avec F ′( x) = f ( x).
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