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Cacahuète crémeuse
Cacahuète croquante
Pour 100 g
Énergie (kJ)
2470
Énergie (kCal)
596
Graisses (g)
46
dont saturé(e)s (g)
8. 2
Glucides (g)
11. 6
dont sucres (g)
5. 9
Fibres (g)
8. 5
Protéines (g)
29. 6
Sel (g)
0
Magnésium (mg)
190
Fer (mg)
Zinc (mg)
3. 3
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Fiche de mathématiques
Ile mathématiques > maths T ale > Géometrie plane et dans l'espace
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité -
Dans cet exercice les questions 1. a et 1. b sont hors programme
Soit le cube OABCDEFG représenté par la figure ci-dessus. L'espace est orienté par le repère orthonormal direct (O;,, ). On désigne par un réel strictement positif. L, M et K sont les points définis par, et. 1. a) Calculer les coordonnées des vecteurs. b) En déduire l'aire du triangle DLM. c) Démontrer que la droite (OK) est orthogonale au plan (DLM). 2. On note H le projeté orthogonal de O (et de K) sur le plan (DLM). a) Démontrer que. b) Les vecteurs et étant colinéaires, on note le réel tel que. Démontrer que. En déduire que H appartient au segment [OK]. c) Déterminer les coordonnées de H.
d) Exprimer en fonction de. En déduire que HK =. 3. À l'aide des questions précédentes, déterminer le volume du tétraèdre DLMK en fonction de. Annales gratuites bac 2004 Mathématiques : Géométrie dans l'espace. 1. a) Nous avons:
A(a; 0; 0); B(1; 1; 0); C(0; 1; 0); D(0; 0; 1); F(1; 1; 1); L(0; a; 0) et M(a; 0; 0).
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Un point vérifie si et seulement si il appartient au cercle de diamètre. 2. Produit scalaire dans l'espace
Soient et des vecteurs non nuls, et un point de l'espace. On note et les points de l'espace tels que et. Les points, et étant coplanaires, on définit le produit scalaire des vecteurs et comme étant le produit scalaire des vecteurs et dans tout plan passant par, et. Si ou est le vecteur nul, alors le produit scalaire est nul. Règle fondamentale:
Toutes les propriétés du produit scalaire établies en géométrie plane sont valables dans l'espace, pour des points et des vecteurs coplanaires. Expression du produit scalaire dans un repère orthonormal
Si l'espace est rapporté à un repère orthonormal, alors le produit scalaire des vecteurs et vérifie:
3. Représentation paramétrique d'une droite de l'espace
Soient et un vecteur non nul. La droite passant par et de vecteur directeur est l'ensemble des points tels que:
Ce système est appelé une représentation paramétrique de la droite. Sujet bac geometrie dans l espace lyrics. 4. Equation cartésienne d'un plan
On se place dans un repère orthonormal.
Or AM² est un trinôme du second degré, de la forme: P( t) = a t ² + b t + c
Puisque: a = 2, a est positif; donc P admet un minimum
sur en:
Donc AM est minimale pour:. On en déduit que:
Soit:
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Donc ne sont pas colinéaires, et par suite:
A, B et C ne sont pas alignés. b) A (1;1;0) et
2 × 1 + 1 − 0 − 3 = 0;
B (1;2;1) et 2 × 1 + 2 − 1 − 3 = 0;
C (3;-1;2) et 2 × 3 − 1 − 2 − 3 = 0. Ainsi les coordonnées de A, B et C vérifient l'équation: 2 x + y − z − 3 = 0. Donc le plan (ABC) a pour équation cartésienne: 2 x + y − z − 3 = 0. 2. Formons le système des équations cartésiennes de
(P) et (Q):
En pratiquant les combinaisons linéaires: −3L 1 + 2L 2
et −2L 1 + L 2, on obtient:
En posant: z = t, il vient alors:
Ceci prouve que (P) et (Q) sont sécants suivant une droite
(D), de représentation paramétrique:
3. D'après la question 2, (P) et (Q) sont sécants
suivant la droite (D); on cherche alors l'intersection de (D) et (ABC):
Soit M (-2 + t;3; t) un point
quelconque de (D). Donc l'intersection de (ABC), (P) et
(Q) est réduite au point J (2;3;4). Sujet bac geometrie dans l espace devant derriere. 4. La distance de A à (D) est la distance minimale
entre A et un point de (D). Soit M (-2 + t;3; t) un point quelconque de (D). AM² = (−2 + t − 1)² + (3 − 1)² + ( t − 0)²
AM² = ( t − 3)² + 4 + t ²
AM² = 2 t ² − 6 t + 13
La distance AM est minimale lorsque AM² l'est.
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Exercice 4 (5 points)
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Dans l'espace muni du repère orthonormé ( O; i →, j →, k →) (O~;~\overrightarrow{i}, ~\overrightarrow{j}~, ~\overrightarrow{k}) d'unité 1 cm, on considère les points
A, B, C et D de coordonnées respectives ( 2; 1; 4) (2~;~1~;~4), ( 4; − 1; 0) (4~;~ - 1~;~0), ( 0; 3; 2) (0~;~3~;~2) et ( 4; 3; − 2) (4~;~3~;~ - 2). Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CD). Soit M un point de la droite (CD). Déterminer les coordonnées du point M tel que la distance BM soit minimale. On note H le point de la droite (CD) ayant pour coordonnées ( 3; 3; − 1) (3~;~3~;~ - 1). Vérifier que les droites (BH) et (CD) sont perpendiculaires. Montrer que l'aire du triangle BCD est égale à 12 cm 2 ^2. Démontrer que le vecteur n → ( 2 1 2) \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix} est un vecteur normal au plan (BCD). Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD). Sujet complet du bac 2013 - La géométrie dans l'espace, l'algorithmique, les probabilités et les fonctions | ABC Bac. Déterminer une représentation paramétrique de la droite Δ \Delta passant par A et orthogonale
au plan (BCD).
QCM de géométrie dans l'espace. II - LE DEVELOPPEMENT
1) Réponse D:
Pour que D passe par S, il faut que les coordonnées de S vérifient les équations paramétriques de D. Or S ne vérifie ni A ni B.
Par contre les coordonnées de S vérifient les équations de C et D. Pour que D soit perpendiculaire à P il faut que tout vecteur directeur de D soit colinéaire à tout vecteur normal de D. Sujet bac geometrie dans l espace analyse. Le vecteur est normal à P.
Les vecteurs sont des vecteurs directeurs respectifs des droites dont les équations paramétriques sont C et D.
n'étant pas colinéaires, seul la réponse D vérifie les conditions. 2) Réponse D:
A Î
P car -4+0+0+4=0
B Ï
P car
C Ï
D Î
A Ï
D car n'a pas de solution. D car a pour solution
D est le seul point vérifiant les équations de P et D. 3) Réponse B:
d(S, P)=SH=
d'où SH=
4) Réponse B:
La distance SH<3 donc l'intersection de la sphère S et du plan P est un cercle de centre H. Le triangle formé par S, H et un point M de ce cercle est rectangle en H. Par le théorème de Pythagore on a:
d'où
III - LE COMMENTAIRE MATHEMATIQUE
Exercice de géométrie dans l'espace s'appuyant fortement sur le programme de 1 ère S.