Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre. L'inégalité de Jensen est une généralisation de l'inégalité de convexité à plusieurs nombres. Elle permet de démontrer des inégalités portant sur des expressions faisant intervenir plusieurs nombres, comme la comparaison entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique de plusieurs nombres. La plupart de ces inégalités seraient délicates à démontrer autrement. Définition d'une fonction convexe par une inégalité - Annales Corrigées | Annabac. Préliminaire [ modifier | modifier le wikicode]
Rappelons le théorème démontré au premier chapitre et connu sous le nom d'inégalité de Jensen. Théorème
Soit f une fonction convexe définie sur un intervalle I de ℝ. Alors, pour tout ( x 1, x 2, …, x n) ∈ I n et pour toute famille (λ 1, λ 2, …, λ n) ∈ (ℝ +) n telle que λ 1 + λ 2 + … + λ n = 1, on a:. Nous avons aussi le corollaire immédiat suivant:
Corollaire
Soit f une fonction convexe définie sur un intervalle I de ℝ. Alors, pour tout ( x 1, x 2, …, x n) ∈ I n, on a:. Il suffit de poser λ 1 = λ 2 = … = λ n = 1/ n dans le théorème de Jensen.
- Inégalité de convexité exponentielle
- Inégalité de connexite.fr
- Inégalité de convexité ln
- Inégalité de convexité généralisée
- Casque arai jet noir
Inégalité De Convexité Exponentielle
\(f\) est donc convexe sur \(\mathbb{R}\). Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\)
\(f\) est convexe sur \(I\) si et seulement si \(f'\) est croissante sur \(I\)
\(f\) est concave sur \(I\) si et seulement si \(f'\) est décroissante sur \(I\). De cette propriété vient naturellement la suivante…
Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur un intervalle \(I\). \(f\) est convexe sur \(I\) si et seulement si pour tout \(x\in I\), \(f^{\prime\prime}(x) \geqslant 0\)
\(f\) est concave sur \(I\) si et seulement si pour tout \(x\in I\), \(f^{\prime\prime}(x) \leqslant 0\)
Si \(f^{\prime\prime}\geqslant 0\), alors \(f\) est convexe: Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur \(I\) telle que pour tout \(x\in I\), \(f^{\prime\prime}(x) \geqslant 0\). Soit \(a\in I\). Leçon 253 (2020) : Utilisation de la notion de convexité en analyse.. La tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\) a pour équation
\[ y = f'(a)(x-a)+f(a) \]
Pour tout \(x\in I\), posons alors \(g(x)=f(x)-(f'(a)(x-a)+f(a))\). \(g\) est deux fois dérivable sur \(I\), et pour tout \(x\in I\)
\(g'(x)=f'(x)-f'(a)\)
\(g^{\prime\prime}(x)=f^{\prime\prime}(x)\)
Ainsi, puisque pour tout \(x\in I\), \(f^{\prime\prime}(x)\geqslant 0\), on a aussi \(g^{\prime\prime}(x) \geqslant 0\).
Inégalité De Connexite.Fr
Soit $aInégalité de convexité généralisée. Enoncé Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction convexe croissante. Montrer que $f$ est constante
ou que $\lim_{+\infty}f=+\infty$. Enoncé Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction convexe. On suppose que $\lim_{+\infty}f=0$. Montrer que $f\geq 0$. Montrer que la somme d'une fonction convexe et d'une fonction affine est convexe. On suppose que la courbe représentative de $f$ admet une asymptote. Montrer que la courbe est (toujours) au-dessus
de l'asymptote. Divers
Enoncé Soit $f:[a, b]\to\mathbb R$ une fonction convexe.
Inégalité De Convexité Ln
Soient a 1, a 2, b 1, b 2 ∈ ℝ +, déduire de ce qui précède:
a 1 b 1 a 1 p + a 2 p p b 1 q + b 2 q q ≤ 1 p a 1 p a 1 p + a 2 p + 1 q b 1 q b 1 q + b 2 q . (c)
Conclure que
a 1 b 1 + a 2 b 2 ≤ a 1 p + a 2 p p b 1 q + b 2 q q . (d)
Plus généralement, établir que pour tout n ∈ ℕ et tous a 1, …, a n, b 1, …, b n,
∑ i = 1 n a i b i ≤ ∑ i = 1 n a i p p ∑ i = 1 n b i q q . Focus sur les inégalités de convexité - Major-Prépa. Par la concavité de x ↦ ln ( x), on a pour tout a, b > 0 et tout λ ∈ [ 0; 1] l'inégalité:
λ ln ( a) + ( 1 - λ) ln ( b) ≤ ln ( λ a + ( 1 - λ) b) . Appliquée à λ = 1 / p, elle donne
ln ( a p b q) ≤ ln ( a p + b q)
puis l'inégalité voulue. Enfin celle-ci reste vraie si a = 0 ou b = 0. Il suffit d'appliquer l'inégalité précédente à
a = a 1 p a 1 p + a 2 p et b = b 1 q b 1 q + b 2 q . De même, on a aussi
a 2 b 2 a 1 p + a 2 p p b 1 q + b 2 q q ≤ 1 p a 2 p a 1 p + a 2 p + 1 q b 2 q b 1 q + b 2 q
donc en sommant les inégalités obtenues puis en simplifiant on obtient celle voulue.
Inégalité De Convexité Généralisée
φ: x ↦ x ln ( x) est convexe sur I = ℝ + * car φ ′ ( x) = 1 + ln ( x) croît avex x. L'inégalité précédente donne alors
0 ≤ ∫ 0 1 f ( t) ln ( f ( t)) d t
puisque ∫ 0 1 f ( t) d t = 1 annule φ.
x ↦ x ln ( x) étant convexe et de tangente d'équation y = x - 1 en 1, on a
x ln ( x) ≥ x - 1 pour tout x > 0 . Par suite,
∫ 0 1 f ( t) ln ( f ( t)) d t - ∫ 0 1 f ( t) ln ( g ( t)) d t
= ∫ 0 1 f ( t) g ( t) ln ( f ( t) g ( t)) g ( t) d t
≥ ∫ 0 1 ( f ( t) g ( t) - 1) g ( t) d t = 0 . Exercice 12 4689
Soit f: [ 0; 1] → ℝ une fonction convexe dérivable. Inégalité de convexité ln. Montrer 1 1
Ce résultat permet d'estimer la qualité de l'approximation de la valeur d'une intégrale d'une fonction convexe par l'aire d'un trapèze. 0 ≤ f ( 0) + f ( 1) 2 - ∫ 0 1 f ( t) d t ≤ f ′ ( 1) - f ′ ( 0) 8 . Exercice 13 2942 X (MP) Correction
Soit f: [ 0; 1] → ℝ continue, concave et vérifiant f ( 0) = 1. Établir
∫ 0 1 x f ( x) d x ≤ 2 3 ( ∫ 0 1 f ( x) d x) 2 .
Article connexe [ modifier | modifier le code]
Inégalité d'Hermite-Hadamard
Portail de l'analyse
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