Suites récurrentes linéaires d'ordre 2
Une suite $(u_n)$ est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 s'il existe
deux nombres $a$ et $b$ tels que, pour tout entier $n$, on a
$$u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n. $$
On étudie ces suites en introduisant l'équation caractéristique
$$r^2=ar+b$$
et on étudie les suites vérifiant une telle relation de récurrence en fonction
des racines de cette équation caractéristique. Premier cas: l'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes, $r_1$ et
$r_2$. Il existe alors deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que, pour tout entier $n$, on a
$$u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n. $$
Les réels $\lambda$ et $\mu$ peuvent être déterminés à partir de la valeur de $u_0$ et $u_1$. Suite récurrente linéaire d ordre 2 exercices en ligne. Deuxième cas: l'équation caractéristique admet une racine double $r$. Il
existe alors deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que, pour tout entier $n$, on a
$$u_n=\lambda r^n+\mu nr^n. $$
Troisième cas: l'équation caractéristique admet deux racines complexes conjugués,
de la forme $re^{i\alpha}$ et $re^{-i\alpha}$.
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Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre. Les deux premiers exercices visent à vérifier votre assimilation des résultats du cours: les équations y sont proposées sous une forme simple qui vous permet d'utiliser directement les théorèmes développés dans la leçon. Les exercices suivants seront moins « automatiques » et nécessiteront la recherche et la mise en équation du problème, la résolution étant supposée acquise. Exercice 1 [ modifier | modifier le wikicode]
Soit une suite telle que:. Exprimer en fonction de n et. La suite converge-t-elle? Si oui, quelle est sa limite? Solution
1. La relation de récurrence peut également s'écrire. Il s'agit d'une suite récurrente affine d'ordre 1, de la forme
avec et
L'expression explicite de est alors:
avec,
c'est-à-dire:. Suite récurrente linéaire d ordre 2 exercices pdf. 2. La convergence de dépend alors de la valeur de:
Si, la suite stationne à, donc elle converge vers. Si, la suite n'a pas de limite. Exercice 2 [ modifier | modifier le wikicode]
Soit la suite définie par:. Exprimer en fonction de n.
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orthonormée... La matrice M est symétrique donc diagonalisable par le théorème
spectral. Corrigé EXERCICE I. I. a La matrice A est symétrique réelle et donc
orthogonalement semblable à une matrice diagonales d'après le théorème
spectral.
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Soit ( u n) une suite réelle telle que
u 0 = 1 et ∀ n ∈ ℕ, u n + 1 = ( 1 + 1 n + 1) u n . Donner l'expression du terme général u n de cette suite. u 0 = 1, u 1 = 2, u 2 = 3, …
Par récurrence, on montre aisément
∀ n ∈ ℕ, u n = n + 1 . Soient ( u n) et ( v n) les suites déterminées par u 0 = 1, v 0 = 2 et pour tout n ∈ ℕ:
u n + 1 = 3 u n + 2 v n et v n + 1 = 2 u n + 3 v n . Montrer que la suite ( u n - v n) est constante. Prouver que ( u n) est une suite arithmético-géométrique. Exprimer les termes généraux des suites ( u n) et ( v n). u n + 1 - v n + 1 = u n - v n et u 0 - v 0 = - 1 donc ( u n - v n) est constante égale à - 1.
v n = u n + 1 donc u n + 1 = 5 u n + 2. La suite ( u n) est arithmético-géométrique. u n + 1 - a = 5 ( u n - a) + 4 a + 2. Pour a = - 1 / 2, ( u n - a) est géométrique de raison 5 et de premier terme 3 / 2. Ainsi,
u n = 3. 5 n - 1 2 et v n = 3. Suite récurrente linéaire d ordre 2 exercices sur les. 5 n + 1 2 . Exercice 6 2297
Soient r > 0 et θ ∈] 0; π [. Déterminer la limite de la suite complexe ( z n) définie par
z 0 = r e i θ et z n + 1 = z n + | z n | 2 pour tout n ∈ ℕ.
Comment en profiter? Pour profiter du crédit d'impôt pour l'emploi d'un salarié à domicile tel que l'emploi d'une personne dispensant des cours particuliers, il convient de reporter le montant des dépenses engagées pour l'emploi du salarié sur la déclaration d'impôt sur le revenu n° 2042 dans la case 7DB. Le montant du crédit d'impôt est ensuite calculé par l'Administration fiscale. Le contribuable doit conserver tous les justificatifs liés aux dépenses occasionnées pour l'emploi d'un salarié donnant des cours à domicile. La déduction d'impôt pour les cours particuliers est un crédit d'impôt. Par conséquent, son montant vient diminuer le montant de l'impôt dû par le contribuable. Il donne lieu à un remboursement d'impôt par l'Administration fiscale lorsque le contribuable n'est pas imposable ou si le montant de l'impôt dont il est redevable est inférieur au montant du crédit d'impôt. Recevez nos dernières news
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Déclarer Des Cours Particuliers Aux Impôts Locaux
Pour les autres modalités de paiement, le crédit d'impôt lié aux cours particuliers pourra être obtenu. En gardant cependant en tête quelques contraintes:
Les cours doivent avoir lieu à votre domicile. Attention aux organismes qui vous promettent les 50% de réduction pour des cours collectifs. On insiste sur le fait qu'il est illégal de tenter de bénéficier des avantages octroyés aux familles en cours individuels à domicile pour des cours à plusieurs dans un centre de stage. La réduction couvre uniquement les heures consommées, indépendamment des heures achetées. Si vous achetez un paquet de 50 heures mais que vous ne consommez que 35 heures de cours particuliers dans l'année, la réduction ne s'appliquera que sur ces 35 heures
Si ces critères sont remplis, vous aurez à reporter le montant total des heures consommées dans votre déclaration d'impôts sur le revenu. À date, la déduction d'impôts relative aux cours à domicile ne sera effective que l'année suivant la réalisation des cours. Des changements sur ce point sont dans les tuyaux.
Déclarer Des Cours Particuliers Aux Impôts Et Taxes
Entre les affichages dans la rue ou à la boulangerie du coin et certaines plateformes de mise en relation peu regardantes sur la qualité des prestations, cette pratique se perpétue depuis longtemps. Nombreux sont les parents à y avoir recours, bien qu'elle ne soit pas légale. Toutefois, il faut savoir que, de même que les prestations de ménage ou de garde d'enfant, le soutien scolaire à domicile fait partie des 26 activités qui sont reconnues par la loi comme services à la personne (SAP). Il bénéficie donc d'un avantage fiscal sous forme de crédit d'impôts. Vous pouvez bénéficier d'un crédit d'impôts équivalent à 50% de dépenses engagées dans la limite de 12 000 € par an. Ce plafond est augmenté de 1 500 euros par enfant à charge, avec un plafond maximal de 15 000 €. On ne parlera pas ici des stages intensifs collectifs. Ces derniers ne rentrent pas dans le statut des cours particuliers et de leur incitation fiscale. Si votre employeur vous fournit des chèques emploi-service (CESU), le montant correspondant n'est pas soumis à l'impôt sur le revenu.
Les revenus exceptionnels à déclarer à l'impôt sur le revenu sont, par exemple: les indemnités de départ à la retraite les primes de départ volontaire en retraite / préretraite les indemnités de licenciement la prime de mobilité professionnelle les revenus agricoles exceptionnels le versement d'un PERP de faible montant... Ces montants sont à reporter soit dans la déclaration 2042, soit dans la déclaration 2042 C ou dans la déclaration 2042 C Pro selon leur nature. Notez que tous les revenus exceptionnels ne sont pas à déclarer, certains faisant l'objet d'une exonération (indemnité de stage, prime d'activité, prime de Noël... ) Enfin, sachez que certaines données ont été préremplies par l'administration fiscale au sein de votre déclaration de revenus. D'autres sont à compléter par vos soins. Nous vous recommandons de consulter le site officiel éclare-mes-autres-revenus et d'utiliser les notices ayant trait aux formulaires 2042 – 2042 C et 2042 C Pro. En savoir + sur notre cabinet comptable