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Soutien maths - Dérivation
Cours maths 1ère S
Dérivation - Application
Dérivation: applications
La notion de dérivée a de nombreuses applications. Nous allons en voir quelques unes. La première d'entre elles, sinon la plus importante, est l'application à l'étude des variations d'une fonction et à la recherche de ses extrema. Application à l'étude des variations d'une fonction
Du sens de variation au signe de la dérivée
Propriété
Soit
une fonction dérivable sur un intervalle
• Si
est croissante sur, alors
est positive ou nulle sur. est décroissante sur, alors
est négative ou nulle sur. est constante sur, alors
est nulle sur. Fichier pdf à télécharger: Cours-Derivation-fonctions. Démonstration
Du signe de la dérivée au sens de variation
Théorème de la monotonie (admis)
une fonction dérivable sur un intervalle. ►Si, pour tout,, alors
est croissante sur. ►Si, pour,, alors
est décroissante sur
est constante sur
Exemple
Méthode
Le sens de variation d'une fonction dérivable est donné par le signe de sa dérivée. Pour étudier les variations d'une fonction dérivable, on calcule donc sa dérivée, puis on détermine le signe de la dérivée et on dresse le tableau de signe de la dérivée et le tableau de variations de la fonction.
Leçon Dérivation 1Ère Séance
La dérivée de ${1}/{v}$ est ${-v\, '}/{v^2}$. Dériver
$f(x)=-{5}/{3}x^2-4x+1$,
$g(x)=3+{1}/{2x+1}$
$h(x)=(8x+1)√{x}$
$k(x)={10-x}/{2x}$
Dérivons $f(x)=-{5}/{3}x^2-4x+1$
On pose $k=-{5}/{3}$, $u=x^2$ et $v=-4x+1$. Donc $u\, '=2x$ et $v\, '=-4$. Ici $f=ku+v$ et donc $f\, '=ku\, '+v\, '$. Donc $f\, '(x)=-{5}/{3}2x+(-4)=-{10}/{3}x-4$. Dérivons $g(x)=3+{1}/{2x+1}$
On pose $v=2x+1$. Donc $v\, '=2$. Ici $g=3+{1}/{v}$ et donc $g\, '=0+{-v\, '}/{v^2}$. Donc $g\, '(x)=-{2}/{(2x+1)^2}$. Dérivons $h(x)=(8x+1)√{x}$
On pose $u=8x+1$ et $v=√{x}$. Donc $u\, '=8$ et $v\, '={1}/{2√{x}}$. Ici $h=uv$ et donc $h\, '=u\, 'v+uv\, '$. Donc $h\, '(x)=8√{x}+(8x+1){1}/{2√{x}}=8√{x}+(8x+1)/{2√{x}}$. Dérivons $k(x)={10-x}/{2x}$
On pose $u=10-x$ et $v=2x$. Donc $u\, '=-1$ et $v\, '=2$. Ici $k={u}/{v}$ et donc $k\, '={u\, 'v-uv\, '}/{v^2}$. Leçon dérivation 1ère séance du 17. Donc $k\, '(x)={(-1)2x-(10-x)2}/{(2x)^2}={-2x-20+2x}/{4x^2}={-20}/{4x^2}=-{5}/{x^2}$. Composée
Soit $a$ et $b$ deux réels fixés. Soit $g$ une fonction dérivable sur un intervalle I.
Leçon Dérivation 1Ères Images
Par conséquent, $f(2, 25)$ est un extremum local de $f$,
Et donc: $f\, '(2, 25)=0$. On a vu précédemment que $f'(2)=12$. Relier cette valeur au premier exemple du chapitre. Considérons le premier exemple du chapitre. Pour $h=1$, ${f(2+h)-f(2)}/{h}$ est le coefficient directeur de la corde (AB), soit 19. Leçon dérivation 1ères images. Pour $h=0, 5$, ${f(2+h)-f(2)}/{h}$ est le coefficient directeur de la corde (AC), soit 15, 25. Pour $h=0, 1$, ${f(2+h)-f(2)}/{h}$ est le coefficient directeur de la corde (AD), soit 12, 61. Quand on passe de B à C, puis de C à D, $h$ se rapproche de 0, et le coefficient directeur de la corde se rapproche de 12. Or, comme la tangente à $C_f$ en 2 a pour coefficient directeur $f'(2)=12$, on a: $ \lim↙{h→0}{f(2+h)-f(2)}/{h}=12$. C'est donc cohérent avec les valeurs des coefficients directeurs des cordes qui semblent
de plus en plus proches du coefficient directeur de la tangente à $C_f$ en 2. A retenir! Un nombre dérivé est un coefficient directeur de tangente. Propriété
La tangente à $\C_f$ en $x_0$ a pour équation $y=f(x_0)+f\, '(x_0)(x-x_0)$.
Leçon Dérivation 1Ère Semaine
Et donc: $m\, '(x)=-2×g\, '(-2x+1)$ avec $g'(z)=e^z$. Donc: $q\, '(x)=-2×e^{-2x+1}$. Réduire...
Leçon Dérivation 1Ère Séance Du 17
si est la bijection réciproque, alors a le même sens de variation que. 3. Extrema d'une fonction
Remarque: dans ce cas, admet une tangent horizontale en M 0 (, ). 4. Plan d'étude d'une fonction
Ensemble de définition D f. Éventuelle parité ou périodicité (pour réduire l'ensemble d'étude). Limites ou valeurs de aux bornes des intervalles constituant D f et éventuelles asymptotes. Existence et détermination de (en utilisant les opérations ou la définition) puis signe de. Leçon dérivation 1ère séance. Tableau de variation récapitulant les résultats précédents. Recherche éventuelle d'un centre ou d'un axe de symétrie. Tracé de la courbe après avoir placé:
- les axes du repère avec la bonne unité;
- les points particuliers (tangente horizontale ou verticale, intersection avec les axes,... );
- les éventuelles asymptotes.
Pour tout x\in\left]\dfrac35;+\infty\right[, 10x-6\gt0 donc f est strictement croissante sur \left[\dfrac35;+\infty\right[. B Les extremums locaux d'une fonction Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I:
Si f admet un extremum local en un réel a de I, alors f'\left(a\right) = 0 et f^{'} change de signe en a. Réciproquement, si f' s'annule en changeant de signe en a, alors f\left(a\right) est un extremum local de f. Si f' s'annule en a et passe d'un signe négatif avant a à un signe positif après a, l'extremum local est un minimum local. Si f' s'annule en a et passe d'un signe positif avant a à un signe négatif après a, l'extremum local est un maximum local. Sa fonction dérivée est f' définie sur \mathbb{R} par f'\left(x\right)=10x-6. Dérivation - application - Cours maths 1ère - Tout savoir sur dérivation - application. Pour tout x\in\left]-\infty;\dfrac35 \right], 10x-6\leq0, pour tout x\in\left[\dfrac35;+\infty\right[, 10x-6\geq0. Donc la dérivée s'annule et change de signe en x=\dfrac35. La fonction f admet, par conséquent, un extremum local en \dfrac35.
Dérivation
I. Nombre dérivé
Définition
La droite d'équation $y=ax+b$ admet pour coefficient directeur le nombre $a$. Soit $x_A≠x_B$; la droite passant par les points A($x_A$;$y_A$) et B($x_B$;$y_B$) admet
pour coefficient directeur le nombre ${y_B-y_A}/{x_B-x_A}$. Définition et propriété
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I. Soit $x_0$ et $x_1$ deux réels distincts appartenant à I. Le taux de variation (ou taux d'accroissement) de $f$ entre $x_0$ et $x_1$ est le nombre ${f(x_1)-f(x_0)}/{x_1-x_0}$. Applications de la dérivation - Maxicours. Il est égal au coefficient directeur de la "corde" passant par $A(x_0; f(x_0))$ et $B(x_1; f(x_1))$. Exemple
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x^3$. Calculer le taux d'accroissement de $f$ entre $2$ et $3$, puis entre $2$ et $2, 5$ puis entre $2$ et $2, 1$. Interpréter graphiquement. Solution...
Corrigé
Le taux d'accroissement de $f$ entre $2$ et $3$ vaut ${f(3)-f(2)}/{3-2}={27-8}/{1}=19$
La corde passant par $A(2;8)$ et $B(3;27)$ a pour coefficient directeur $19$. Le taux d'accroissement de $f$ entre $2$ et $2, 5$ vaut ${f(2, 5)-f(2)}/{2, 5-2}={15, 625-8}/{0, 5}=15, 25$
La corde passant par $A(2;8)$ et $C(2, 5;15, 625)$ a pour coefficient directeur $15, 25$.
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