Visualisons leur représentation graphique dans
un même repère:
On remarque que, par rapport à la courbe de
f, la courbe
de g est
« décalée »
de 2 vers le haut ( b = 2) et que
celle de h
est « décalée »
de 3 vers le bas ( b = –3). 3. Sens de variation
Rappel
La fonction x → x 3
est croissante sur. Ce qui signifie que si
x < y,
alors x 3 < y 3. Soit la fonction f(x) = ax 3 + b,
avec a et
b deux
réels ( a ≠ 0). Prenons deux réels x et y, tels que x < y. On a: f(y) – f(x) = ( ay 3 + b) – ( ax 3 + b) = ay 3 + b – ax 3 – b = ay 3 – ax 3 = a ( y 3 – x 3). Comme x < y,
alors x 3 < y 3
et donc y 3 – x 3 >0. Donc:
Si a > 0,
f(y) – f(x) > 0,
c'est-à-dire f(x) < f(y);
Si a < 0,
f(y) – f(x)
< 0, c'est-à-dire f(x) > f(y). Ce qui signifie que:
Une fonction polynôme de type x → ax 3
ou x → ax 3 + b
est:
croissante si a > 0.
décroissante si a < 0. Ci-dessous, les représentations graphiques des
fonctions f: x → 2 x 3,
g: x → 0, 5 x 3 – 3,
h: x → –0, 2 x 3
et j: x → – x 3 + 2.
- Fonction polynôme de degré 3 exercice corrigé un
- Fonction polynôme de degré 3 exercice corrigé simple
- Fonction polynôme de degré 3 exercice corriger
- Tatouage guitare minimaliste du
Fonction Polynôme De Degré 3 Exercice Corrigé Un
Nous allons ici étudier un type de fonctions
liées à la fonction cube. 1. Fonction polynôme de degré 3
Une fonction (polynôme) de
degré 3 est une fonction qui peut
s'écrire sous la forme f(x) = ax 3 + bx ² + cx + d
avec a un
réel non nul, b, c et d trois réels. Exemples
La fonction f définie par
f(x) = –2 x 3 + 3 x ² – 5 x + 1
est une fonction du troisième degré. On
identifie les coefficients: a = –2;
b = 3;
c = –5;
d = 1. La fonction g définie par
g(x) = 3 x 3 –2
identifie les coefficients: a = 3;
b = 0;
c = 0;
d = –2. Remarques
f(x) = ax 3 + bx ² + cx + d
est la forme développée de f. Dans cette fiche, nous nous intéresserons
uniquement aux fonctions polynômes de
degré 3 du type x → ax 3
et x → ax 3,
où a
est un réel non nul et b un réel. 2. Représentation graphique
a. Cas où b = 0, c = 0 et d = 0
On considère les fonctions du type x → ax 3. Pour tout réel x, on a f(–x) = a (– x) 3 = – ax 3 = – f(x). La fonction f est donc impaire. Par conséquent, la courbe représentative
d'une fonction polynôme du type
x → ax 3
est symétrique par rapport à
l'origine du repère.
Fonction Polynôme De Degré 3 Exercice Corrigé Simple
Résoudre les équations de la forme x 3 = a x^{3}=a ( 3 exercices) Donner le sens de variation des fonctions de la forme a x 3 + b ax^{3}+b ( 3 exercices) Déterminer les réels a a et b b dans les fonctions de la forme a x 3 + b ax^{3}+b ( 4 exercices) Comment étudier le signe d'un produit de la forme a ( x − x 1) ( x − x 2) ( x − x 3) a\left(x-x_{1} \right)\left(x-x_{2} \right)\left(x-x_{3} \right) ( 5 exercices) Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Comment déterminer l'expression d'une fonction polynôme du troisième degré à partir d'éléments graphiques ou de données ( 2 exercices)
Fonction Polynôme De Degré 3 Exercice Corriger
Remarque: on retrouvera ce résultat au chapitre 4.
c) Application à la résolution d'équations. α) L'équation:
se met sous la forme, avec:
Or la racine double de P' est racine de P car
Par conséquent, est racine triple de P, et les racines de l'équation à résoudre sont donc:. β) L'équation:
avec. Calculons le nombre qui, d'après la question b, sera racine double de P s'il est racine de P'...
Par conséquent, est bien racine double de P, et l'autre racine est. Les racines de l'équation à résoudre sont donc:. Remarque: nous retrouverons ces deux équations dans l'exercice 4-3. Exercice 1-4 [ modifier | modifier le wikicode]
Résoudre le système de trois équations à trois inconnues suivant:. Portons z de la troisième équation dans les deux premières:. Le système peut alors se réécrire ainsi:. Nous allons éliminer y entre les deux dernières équations en utilisant leur résultant par rapport à y. La dernière équation est considérée comme de degré par rapport à y car on ne peut pas avoir à la fois et.
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