En revanche, la plupart des extensions élémentaires de K ne vérifient pas cette propriété de stabilité. Ainsi, si on prend pour corps différentiel L = K (exp(-x 2)) (qui est une extension exponentielle de K), la fonction d'erreur erf, primitive de la fonction gaussienne exp(-x 2) (à la constante 2/
près), n'est dans aucune extension différentielle élémentaire de K (ni, donc, de L), c'est-à-dire qu'elle ne peut s'écrire comme composée de fonctions usuelles. La démonstration repose sur l'expression exacte des dérivées données par le théorème, laquelle permet de montrer qu'une primitive serait alors nécessairement de la forme P(x)/Q(x)exp(-x 2) (avec P et Q polynômes); on conclut en remarquant que la dérivée de cette forme ne peut jamais être exp(-x 2). On montre de même que de nombreuses fonctions spéciales définies comme des primitives, telles que le sinus intégral Si, ou le logarithme intégral Li, ne peuvent s'exprimer à l'aide des fonctions usuelles. Relation avec la théorie de Galois différentielle et généralisations
On présente parfois le théorème de Liouville comme faisant partie de la théorie de Galois différentielle, mais cela n'est pas tout à fait exact: il peut être démontré sans aucun appel à la théorie de Galois.
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Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre. Fonctions entières [ modifier | modifier le wikicode]
Les fonctions entières sont les fonctions qui sont holomorphes sur telles que l'exponentielle complexe, les fonctions polynômes, les fonctions sinus et cosinus ainsi que les fonctions hyperboliques. Comme nous le verrons au prochain chapitre, ces fonctions sont des cas particuliers des fonctions analytiques, c'est-à-dire des fonctions développables en série au voisinage d'un point de. Théorème de Liouville [ modifier | modifier le wikicode]
Ce théorème permet de déterminer les fonctions holomorphes sur qui sont polynomiales, il permet aussi de montrer le théorème fondamental de l'algèbre avec une remarquable simplicité. Théorème de Liouville
Si est holomorphe dans et s'il existe et tels que:,
alors est un polynôme de degré inférieur ou égal à. Principe du (module) maximum [ modifier | modifier le wikicode]
Ce théorème énonce qu'une fonction holomorphe sur un ouvert connexe de dont le module admet un maximum local dans cet ouvert est constante.
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De plus, le groupe de Galois d'une primitive donnée est soit trivial (s'il n'est pas nécessaire d'étendre le corps pour l'exprimer), soit le groupe additif des constantes (correspondant à la constante d'intégration). Ainsi, le groupe de Galois différentiel d'une primitive ne contient pas assez d'information pour déterminer si elle peut ou non s'exprimer en fonctions élémentaires, ce qui constitue l'essentiel du théorème de Liouville. Inversement, la théorie de Galois différentielle permet d'obtenir des résultats analogues, mais plus puissants, par exemple de démontrer que les fonctions de Bessel, non seulement ne sont pas des fonctions élémentaires, mais ne peuvent même pas s'obtenir à partir de primitives de ces dernières. De manière analogue (mais sans utiliser la théorie de Galois différentielle), Joseph Ritt (en) a obtenu en 1925 une caractérisation des fonctions élémentaires dont la bijection réciproque est également élémentaire [ 1]. Références
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article de Wikipédia en anglais intitulé « Liouville's theorem (differential algebra) » (voir la liste des auteurs).
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Une ville plus humaine les éco quartiers
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Les habitants se déplacent dans ces espaces grâce à divers moyens de transport: voiture, train, métro, bus. Les métropoles, des espaces contrastés
Les inégalités sont très importantes dans les métropoles. Des quartiers aisés avec des habitations luxueuses voisinent avec des bidonvilles qui accueillent les populations pauvres dans des habitations précaires ( étude de cas 2). Les métropoles doivent faire face à des problèmes liés à leur taille et aux fortes densités de population. Le manque de transports urbains et les embouteillages sont importants ( doc. 3 p. Ils génèrent de la pollution. Dans les pays en développement, l'accès au logement, l'approvisionnement en eau, l'évacuation des déchets sont des défis permanents ( doc. 4 p. 195). Manhattan
Manhattan, 2015. Je retiens les lieux importants
Les 3 métropoles mondiales les plus peuplées en 2015
Je révise grâce à mon schéma de révision
C'est le nombre d'habitants dans les bidonvilles en 2015. C'est le nombre de personnes vivant en ville en 2015, soit 53% de la population mondiale.
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Les métropoles, des espaces attractifs
En 2015, plus d'une personne sur deux dans le monde vit en ville. Les métropoles concentrent les activités et les richesses: bourses, grandes entreprises, universités, musées, magasins ( doc. 1 et 2 p. 194). Dans les pays en développement, elles attirent des populations rurales: c'est l'exode rural. Les métropoles attirent tous types d'habitants: ce sont des lieux cosmopolites ( étude de cas 1). Les métropoles, des espaces habités
Dans toutes les métropoles, on distingue différents espaces. Le centre-ville est situé dans l'ancien centre historique ou autour d'un centre des affaires (CBD). On s'y rend pour travailler, faire ses courses, visiter ou se détendre. La ville s'étend sur les périphéries: c'est l'étalement urbain. En banlieue et dans les espaces périurbains, les hommes vivent dans des immeubles collectifs, des maisons individuelles, des lotissements pavillonnaires ou dans des bidonvilles (métropoles des pays en développement et émergents).
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