Démontrer qu'une suite est Arithmétique | 2 Exemples Corrigés | Pigerlesmaths - YouTube
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Suite arithmético-géométrique
Définition: on dit qu'une suite ( u n) est une suite arithmético-géométrique s'il existe deux réels a et b tels que u 0 étant donné, on a pour tout entier n: u n +1 = au n + b.
On peut donc calculer chaque terme d'une suite arithmético-géométrique en utilisant les coefficients a et b et le terme précédent. Exemple: en 2000 la population d'une ville était de 5 200 habitants. Chaque année la population augmente de 2% mais 150 habitants quittent la ville. On note u 0 le nombre d'habitants en 2000, et u n le nombre d'habitants en 2000 + n. Démontrer que la suite ( u n) est une suite arithmético-géométrique. On sait qu'une augmentation de 2% correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 2% = 1, 02. On a u 0 = 5 200 et pour tout entier n: u n +1 = 1, 02 u n −150. La suite ( u n) est donc une suite arithmético-géométrique. Cas particuliers:
si b = 0 et a est différent de 0, alors la suite est une suite géométrique de raison a;
si a = 1, alors la suite est une suite arithmétique de raison b.
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On introduit la suite v n définie par Exprimons v n en fonction de n. Pour cela, montrons d'abord que c'est une suite géométrique: \begin{array}{l}
v_{n+1} = u_{n+1}-l \\
v_{n+1} = a \times u_n+b-l \\
v_{n+1} = a \times u_n+b-\dfrac{b}{1-a} \\
v_{n+1} = a \times u_n+\dfrac{b\times(1-a)-b}{1-a} \\
v_{n+1} = a \times u_n+\dfrac{-ab}{1-a} \\
v_{n+1} = a\times \left( u_n-\dfrac{b}{1-a} \right)\\
v_{n+1} = a\times \left( u_n-l \right)\\
v_{n+1} = a\times v_n\\
\end{array} v n est donc une suite géométrique de raison a. En utilisant le cours sur les suites géométriques, on obtient donc: \begin{array}{l}
v_n = a^n v_0\\
v_n = a^n(u_0-l) \\
v_n=a^n\left(u_0-\dfrac{b}{1-a}\right)
\end{array} Puis en inversant la relation qui relie u n et v n, on obtient la formule des suites arithmético-géométriques en fonction des paramètres a, b et u 0: \begin{array}{l}
u_n = v_n +l\\
u_n = a^n\left(u_0-\dfrac{b}{1-a}\right) + \dfrac{b}{1-a}
\end{array} Et donc connaissant, u 0, on a bien exprimé u n en fonction de n.
On peut voir aussi la suite arithmétique
comme la restriction à
de la fonction affine f
définie par f(x) = ax + b
Variation et convergence
Si r = 0, la suite est constante ( stationnaire
à partir de n = 0)
Si r > 0, la suite est strictement
croissante
puisque pour tout n entier naturel on a u n+1
- u n = r > 0 et:
Si r < 0, la
suite est strictement décroissante
puisque pour tout n entier naturel
on a u n+1 - u n = r <
0 et on a:
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Très bien
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Par Stéphanie
le 25/05/2021
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