I – Définition et méthode
PGCD: Le PGCD de deux nombres entiers naturels, est le plus grand diviseur commun de ces deux nombres. Il y a 3 méthodes utilisées pour trouver ce dernier. Méthode 1: Les diviseurs
1. Etablir la liste des diviseurs des deux nombres 2. On repère tous les diviseurs communs 3. On trouve le plus grand diviseur commun qui est le PDCD de ces deux nombres. Exemple: trouver le PGCD de 48 et 64
1. Diviseurs de 48: 1; 48; 2; 24; 3; 16; 4; 12; 6; 8 (Ici on utilise les produits égaux à 48, et on s'arrête à 6 x 8 car le premier facteur dépasserait le second) Diviseurs de 64: 1; 64; 2; 32; 4; 16; 8 (Ici on utilise les produits égaux à 64, et on s'arrête à 8 x 8 car le premier facteur dépasserait le second)
2. Les diviseurs communs: 1; 2; 4; 8; 16
3. On a donc PGCD(48;64) = 16
Méthode 2: L'algorithme des soustractions successives
1. Faire la différence entre le nombre le plus grand et le nombre le plus petit 2. Puis faire la différence entre les deux nombres les plus petits à chaque fois en faisant de sorte de soustraire le plus petit au plus grand jusqu'au résultat nul.
Exercice Diviseur Commun Un
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Soutien maths - Plus grand commun diviseur
Cours maths 3ème
Ce cours a pour objectifs de travailler autour des définitions de multiples et diviseurs d'un nombre et d'introduire la notion de PGCD et les algorithmes de recherche du PGCD de deux nombres (algorithme des différences et algorithmes d'Euclide). Diviseurs et multiples
Pour deux nombres entiers n et d non nuls,
d est un diviseur de n signifie qu'il existe un nombre entier q tel que
n = q × d. On dit aussi que
n est divisible par d ou que n est
n est un multiple de d.
Remarques:
Si d est un diviseur de n alors le reste de la division euclidienne de n par d est égal à zéro. Exemples:
7 est un diviseur de 91 car 91 = 7 × 13. De même, 13 est un diviseur de 91. Remarque importante:
1 est un diviseur de tout nombre entier. Applications
1) 324 est divisible par:
2) 1 140 est divisible par:
3) 945 est un multiple de:
4) 523 480 est un multiple de:
Plus grand diviseur commun
Définition:
Un diviseur commun à deux ou plusieurs nombres entiers est un nombre entier qui divise chacun d'eux.
: 5eme Primaire – Exercices à imprimer sur le plus grand diviseur commun – PGCD 1) Diviseur commun? 2) Trouve tous les diviseurs de 12: ( en ordre croissant) Trouve tous les diviseurs de 16: Quels sont les diviseurs communs à 12 et à 16? Quel est le plus grand de ces diviseurs communs? On l'appellera le PGCD ( Plus Grand Diviseur Commun)
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Exercice Diviseur Commun Francais
Auteur: Yuki
Exercice: 1. Décomposer les nombres 162 et 108 en produits de facteurs premiers. 2. Déterminer deux diviseurs communs aux nombres 162 et 108 plus grands que 10. 3. Un snack vend des barquettes composées de nems et de samossas. Le cuisinier a préparé 162 nems et 108 samossas. Dans chaque barquette: – le nombre de nems doit être le même; – le nombre de samossa doit être le même; Tous les nems et tous les samossas doivent être utilisés. a. Le cuisinier peut-il réaliser 36 barquettes? b. Quel nombre maximal de barquettes pourra-t-il réaliser? c. Dans ce cas, combien y aura-t-il de nems et de samossas dans chaque barquette? Corrigé: 1. 162=2×81=2×9×9=2×3×3×3×3 108=2×54=2×6×9=2×2×3×3×3 2. 27=3×3×3 et 18=2×3×3 sont deux diviseurs communs aux nombres 162 et 108 plus grands que 10. a) 36 n'est pas un diviseur de 162 donc le cuisinier ne pourra pas réaliser 36 barquettes. b) On cherche le plus grand diviseur commun à 162 et 108. C'est le nombre 2×3×3×3=54 Le cuisinier pourra faire au plus 54 barquettes.
Exemple:
36 = 12 × 3 et 24 = 12 × 2. Donc 12 est un diviseur commun à 36 et à 24.
p>
Si a et b désignent deux nombres entiers, on note PGCD (a; b) le plus grand des diviseurs positifs à a et b.
Exemple: Rechercher le PGCD de 24 et 36
La liste des diviseurs de 24 est:
La liste des diviseurs de 36 est:
24 et 36 ont 6 diviseurs communs: 1; 2; 3; 4; 6 et 12
Le plus grand d'entre eux est 12 donc PGCD (24; 36) = 12
Problème
Quel est le PGCD de 1 326 et 546? Méthode: on cherche tous les diviseurs de 1 326 puis tous les diviseurs de 546 et ainsi nous pourrons déterminer le plus grand diviseur commun. Problème: la recherche de TOUS les diviseurs d'un nombre entier est souvent longue et fastidieuse. Solution: nous allons voir des algorithmes de recherche qui nous permettront un travail plus rapide. Algorithme des différences
Exemple: Déterminer PGCD (1 326; 546). 1) Soustraire le plus petit des deux nombres au plus grand:
2) On prend les deux plus petits et on recommence:
3) On continue jusqu'à obtenir un résultat nul:
Le plus grand diviseur est le dernier reste non nul dans la succession des différences de l'algorithme
Ici, PGCD ( 1 326; 546) = 78
Algorithme d'Euclide: méthode
● 1) On effectue la division euclidienne du plus grand des deux nombres par le plus petit.
Exercice Diviseur Commun De La
Il utilise toutes les billes rouges donc le nombre de paquets de billes rouges est un diviseur de 108. Il utilise toutes les billes noires donc le nombre de paquets de billes noires est un diviseur de 135. Comme il doit assembler les paquets de billes rouges et noires, le nombre de paquets de billes rouges et de billes noires doit être identique. Par conséquent ce nombre de paquets est un diviseur commun à 108 et 135. Et en plus, Marc veut un maximum de paquets. Il doit partager les billes en:
PGCD(108;135)=27 paquets. Voilà. Vous pouvez faire une pause à présent. Allez jouer aux billes!
Les solutions sont donc (x, y) = (35a, 420 – 35a) pour a = 1, 5, 7, 11.
c) x = 354a et y = 354b, avec a, b premiers entre eux et a + b = 5664/354, c'est-à-dire b = 16 – a et a impair. Les solutions sont donc (x, y) = (354a, 5664 – 354a) pour a = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Exercice 3-9 [ modifier | modifier le wikicode]
Trouver les entiers naturels vérifiant:
x = 18a et y = 18b avec a, b premiers entre eux et (a + b)(a – b) = 2916/18 2, c'est-à-dire a – b = 1 et a + b = 9, soit a = 5 et b = 4, donc x = 90 et y = 72. Exercice 3-10 [ modifier | modifier le wikicode]
Dans un repère, le point M a pour coordonnées deux entiers et premiers entre eux. Démontrer que sur le segment [OM], les seuls points à coordonnées entières sont les extrémités. Soient, et. Alors, donc si et sont entiers, d'après le théorème de Gauss, divise et divise, c'est-à-dire (puisque). Donc ou. Exercice 3-11 [ modifier | modifier le wikicode]
a et b sont deux entiers non nuls et g est leur PGCD; p, q, r, s sont des entiers tels que ps – qr = 1.
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