Le critère de Routh
Voici le premier critère et le plus simple
permettant d'analyser la stabilité des systèmes linéaire asservis. Soit le dénominateur de la fonction de transfert
d'un système
avec
Le critère de
Routh permet de déterminer si les racines de l'équation caractéristique du système sont à parties réelles positives ou
non sans calculer explicitement ces racines
Condition nécessaire:
Une condition nécessaire de stabilité est que tous les
coefficients de D(s)
soient strictement de même signe. Condition nécessaire et suffisante:
Si la condition nécessaire est vérifiée, if faut construire
le tableau de Routh
Ligne 1
an
an-2
an-4
an-6
…
Ligne2
an-1
an-3
an-5
an-7
Ligne 3
a31
a32
a33
a34
Ligne 4
a41
a42
a43
a44
Le tableau a au plus n+1
lignes ( n: ordre de D (s))
De nous pouvons énoncer le critère de Routh:
Un système est asymptotiquement stable si et seulement si
tous les coefficients de la première colonne du tableau de Routh sont tous de
même signe.
Tableau De Route
Les coefficients de la ligne contenant zéro deviennent maintenant "8" et "24". Le processus du tableau de Routh se déroule en utilisant ces valeurs qui donnent deux points sur l'axe imaginaire. Ces deux points sur l'axe imaginaire sont la cause première de la stabilité marginale. Voir également
Les références
Felix Gantmacher (traducteur JL Brenner) (1959) Applications de la théorie des matrices, pp 177–80, New York: Interscience. Pippard, AB; Dicke, RH (1986). "Réponse et stabilité, une introduction à la théorie physique". Journal américain de physique. 54 (11): 1052. Bibcode: 1986AmJPh.. 54. 1052P. doi: 10. 1119 / 1. 14826. Archivé de l'original le 14/05/2016. Récupéré le 07/05/2008. Richard C. Dorf, Robert H. Bishop (2001). Modern Control Systems (9e éd. ). Prentice Hall. ISBN 0-13-030660-6. Rahman, QI; Schmeisser, G. (2002). Théorie analytique des polynômes. Monographies de la London Mathematical Society. Nouvelle série. 26. Oxford: Presse d'université d'Oxford. ISBN 0-19-853493-0.
Tableau De Routine À Télécharger
Le polynôme du troisième ordre a toutes les racines dans le demi-plan gauche ouvert si et seulement si, sont positifs et
En général, le critère de stabilité de Routh indique qu'un polynôme a toutes les racines dans le demi-plan gauche ouvert si et seulement si tous les éléments de la première colonne du tableau de Routh ont le même signe. Exemple d'ordre supérieur
Une méthode tabulaire peut être utilisée pour déterminer la stabilité lorsque les racines d'un polynôme caractéristique d'ordre supérieur sont difficiles à obtenir. Pour un polynôme au n ème degré
le tableau comporte n + 1 lignes et la structure suivante:
où les éléments et peuvent être calculés comme suit:
Une fois terminé, le nombre de changements de signe dans la première colonne sera le nombre de racines non négatives. 0, 75
1, 5
0
-3
6
3
Dans la première colonne, il y a deux changements de signe (0, 75 → −3 et −3 → 3), il y a donc deux racines non négatives où le système est instable. L'équation caractéristique d'un système d'asservissement est donnée par:
=
pour la stabilité, tous les éléments de la première colonne du tableau Routh doivent être positifs.
Tableau De Route Du Rock
Le tableau de Routh est une méthode tabulaire permettant d'établir la stabilité d'un système en utilisant uniquement les coefficients du polynôme caractéristique. Au cœur du domaine de la conception des systèmes de contrôle, le théorème de Routh – Hurwitz et le tableau de Routh émergent en utilisant l' algorithme euclidien et le théorème de Sturm dans l'évaluation des indices de Cauchy.
Dans le cas où le point de départ est sur une incongruité (i. e., je = 0, 1, 2,... ) le point final sera également sur une incongruité, par l'équation (17) (puisque est un entier et est un entier, sera un entier). Dans ce cas, on peut obtenir ce même indice (différence des sauts positifs et négatifs) en décalant les axes de la fonction tangente de, en ajoutant à. Ainsi, notre indice est maintenant entièrement défini pour toute combinaison de coefficients dans en évaluant sur l'intervalle (a, b) = lorsque notre point de départ (et donc d'arrivée) n'est pas une incongruité, et en évaluant sur ledit intervalle lorsque notre point de départ est à une incongruité. Cette différence,, des incongruités de saut négatives et positives rencontrées lors de la traversée de à est appelé l'indice de Cauchy de la tangente de l'angle de phase, l'angle de phase étant ou alors, selon que est un multiple entier de ou pas. Le critère de Routh Pour dériver le critère de Routh, nous allons d'abord utiliser une notation différente pour différencier les termes pairs et impairs de: Maintenant nous avons: Par conséquent, si est même, et si est impair: Observez maintenant que si est un entier impair, alors par (3) est impair.
Exemple: Soit le polynôme caractéristique A(p)= p 3 -2p 2 -13p-10
p 3
1
-13
p 2
-2
-10
p
-18
0
p 0
Un changement de signe, donc un pôle instable. En effet, A(p) a pour racines -1,
-2, 5. Exemple: Soit le polynôme caractéristique A(p)=p 4 + p 3 +5p 2 +4p+4
p 4
5
4
e
Deux racines imaginaires pures (+2j, -2j); les autres sont. Exemple: Soit la fonction de transfert en boucle ouverte H(p)=K(p-1)/p(1+Tp) avec T>0. Le dénominateur
en boucle fermée est: Tp 2 +(1+K)p-K
T
-K
1 + K
Ce système est instable pour tous les gains positifs. [ Table des matires]
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