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D'où:
On obtient donc, au premier ordre:
On pose:
est l'opérateur des déformations de Green -Lagrange. Il s'agit d'un tenseur symétrique réel, donc diagonalisable dans une base orthonormée. Les directions propres sont appelées directions principales de déformation. Si on introduit le vecteur déplacement
on obtient:
en notant la dérivée partielle de
et donc:
Cas des petites déformations [ modifier | modifier le code]
Tenseur des déformations linéarisées [ modifier | modifier le code]
Si l'on fait l'hypothèse des petites déformations, on néglige les termes du second ordre et on obtient le tenseur des déformations linéarisé:
Sous forme de composantes dans une base orthonormée:
Interprétation des termes diagonaux [ modifier | modifier le code]
Allongement du segment par déformation linéaire. Les termes diagonaux sont les allongements relatifs dans la direction i (selon l'axe x i). Symétrie axiale - Lulu la taupe, jeux gratuits pour enfants | Jeux gratuits pour enfants, Jeux mathématiques cm1, Symétrie. Prenons le cas d'un segment [ AB], parallèle à l'axe x 1, et intéressons-nous à la partie de la déformation également parallèle à x 1, que nous noterons [ A'B'].
Une déformation est dite incompressible si elle s'effectue sans variation de volume en tout point du corps. En particulier, les déformations plastiques s'effectuent sans variation de volume. Dessin symétrique a imprimer a imprimer. Déformations principales [ modifier | modifier le code]
Il existe une base orthonormée telle que le tenseur des contraintes est une matrice diagonale (voir Matrice symétrique > Décomposition spectrale):. Les directions sont appelées directions principales, et les déformations ε I, ε II et ε III sont les déformations principales. Les déformations principales sont les valeurs propres du tenseur, et les directions propres, ses vecteurs propres. Les valeurs propres λ vérifient l'équation
où I est la matrice identité; les déformations principales sont donc les solutions en λ de cette équation. Rappelons que la trace est invariante par changement de base (voir Matrices semblables), donc
et ainsi en petites déformations, la variation relative de volume vaut
Contrairement aux contraintes principales, la notion de déformation principale est assez peu utilisée pour le calcul.
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Pionnier du crowdfunding (financement participatif), Ulule accompagne les créateurs et créatrices depuis 2010. Notre mission: donner à chaque personne le pouvoir d'agir pour un monde plus divers, plus durable, plus ouvert.