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Salut,
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Toujours bien réfléchir avant d'agir
Soit $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls, $a=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r}$ et
$b=q_1^{\beta_1}\cdots q_s^{\beta_s}$ leurs décompositions respectives en produits de facteurs premiers, avec
$\alpha_i, \beta_j\geq 1$. On suppose de plus que $a$ et $b$ sont premiers entre eux. Que dire des $p_i$ et des $q_j$? Comment s'écrit un diviseur de $a$? un diviseur de $b$? un diviseur de $ab$? En déduire que l'application
\begin{eqnarray*}
\phi:\{\textrm{diviseurs de}a\}\times\{\textrm{diviseurs de}b\}&\to&\{\textrm{diviseurs de}ab\}\\
(m, n)&\mapsto&mn
\end{eqnarray*}
est une bijection, puis que $\sigma(a)\sigma(b)=\sigma(ab)$. Soit $p$ un nombre premier tel que $2^p-1$ soit premier. On note $E_p=2^{p-1}(2^p-1)$. Calculer $\sigma(2^{p-1})$ puis $\sigma(2^p-1)$. Exercice décomposition en produit de facteurs premiers nft adidas rafle. En déduire que $E_p$ est un nombre parfait. Dans cette question $n$ désigne un nombre parfait pair, $n=2^a b$ où $b$ est impair. Justifier que $\sigma(n)=2^{a+1}b$ puis que $2^{a+1}b=\sigma(b)(2^{a+1}-1)$. Démontrer que $2^{a+1}-1$ et $2^{a+1}$ sont premiers entre eux.
Exercice Décomposition En Produit De Facteurs Premiers Des
Voir l'exercice
Condition et hypothèse en anglais Quelle est la différence entre "whether" et "if "? Voir l'exercice
En déduire que $2^{a+1}-1$ divise $b$. Par la suite, nous
noterons $b=(2^{a+1}-1)c$. Démontrer que
$$\sigma(b)=2^{a+1}c, \ n=2^a(2^{a+1}-1)c, \ \sigma(n)=2^{a+1}(2^{a+1}-1)c. $$
On suppose que $c>1$. Démontrer qu'on a alors $\sigma(b)\geq 2^{a+1}c+1$. En déduire que $c=1$. Démontrer que $b$ est premier.