Étant donné un réseau alors on peut définir le réseau dual (comme formes dans l' espace vectoriel dual à valeurs entières sur ou via la dualité de Pontryagin). Alors, si l'on considère la distribution de Dirac multidimensionnelle qu'on note encore avec, on peut définir la distribution
Cette fois-ci, on obtient une formule sommatoire de Poisson en remarquant que la transformée de Fourier de est (en considérant une normalisation appropriée de la transformée de Fourier). Cette formule est souvent utilisée dans la théorie des fonctions thêta. En théorie des nombres, on peut généraliser encore cette formule au cas d'un groupe abélien localement compact. En analyse harmonique non-commutative, cette idée est poussée encore plus loin et aboutit à la formule des traces de Selberg et prend un caractère beaucoup plus profond. Un cas particulier est celui des groupes abéliens finis, pour lesquels la formule sommatoire de Poisson est immédiate ( cf. Analyse harmonique sur un groupe abélien fini) et possède de nombreuses applications à la fois théoriques en arithmétique et appliquées par exemple en théorie des codes et en cryptographie ( cf.
De Laplace à Poisson
Dans une page précédente, nous avons étudié l'équation de Laplace et sa résolution numérique par des méthodes aux différences finies. Cette équation, dont la forme générale est \( \Delta V = 0 \) permet, entre autres, de calculer le potentiel créé par une répartition de charges électriques externes dans un domaine fermé vide de charge. Les domaines d'application de cette EDP elliptique homogène sont multiples: mécanique des fluides, thermique et même analyse financière. Dans la présente page, nous allons examiner une équation très proche de l'équation de Laplace: l'équation de Poisson. C'est aussi une équation aux dérivées partielles elliptique, de forme laplacienne, dont l'expression générale est \( \Delta V = f(x_0,.., x_i) \). Plus précisément, je vais aborder la résolution numérique de cette équation, dans une de ses formes particulières, qui est \( \Delta V = K \), avec K une constante non nulle bien sur! Un peu de physique
L'équation de Poisson
Imaginons une région de l'espace où il existe une distribution de charges \( \rho(x, y) \).
Le reste du code sert à l'affichage de la grille et ne présente pas grand intérêt... Les résultats
Avec le code ci-dessus, j'obtiens les résultats suivants:
Le nombre d'itérations pour atteindre la précision demandée (10-3) est de 3060. Le temps de calcul est d'environ une seconde sur mon Precision M6400. Sur le plan physique, le potentiel dans le domaine en fonction de la position des charges s'établit comme suit:
On pourrait vérifier par quelques calculs simples que la loi de Coulomb pour l'électrostatique est vérifiée. Les scripts Python
Les scripts Python étudiés dans cette page sont disponibles dans le package:: résolution de l'équation de Poisson en utilisant la méthode de Gauss-Seidel
Pour conclure
Avec un peu de pratique, l'utilisation des méthodes aux différences finies pour résoudre numériquement des EDP se révèle souple et assez puissante, du moins dans nos cas très simples. Vous pouvez vous entrainer en modifiant la répartition des charges ou bien le maillage de la grille, par exemple en le resserrant à proximité des charges.
Dans le cas d'un stratifié (isotrope transverse), on définit un coefficient secondaire de Poisson défini par la relation n°2 ci-contre reliant E1 et E2. Cela vous intéressera aussi Intéressé par ce que vous venez de lire?
En sommant la série de Fourier de S, on obtient bien
Convention alternative [ modifier | modifier le code]
Si l'on utilise les conventions suivantes:
alors la formule sommatoire de Poisson se réécrit (avec t = 0 et a = 1) [ 2]:
Sur les conditions de convergence [ modifier | modifier le code]
Une façon pratique de passer outre les conditions de régularité imposées à la fonction f est de se placer dans le contexte plus général de la théorie des distributions. Si l'on note la distribution de Dirac alors si l'on introduit la distribution suivante:
une façon élégante de reformuler la sommation est de dire que est sa propre transformée de Fourier. Applications de la resommation de Poisson [ modifier | modifier le code]
Les exemples les plus élémentaires de cette formule permettent de déterminer des sommes simples d'entiers:,
ou bien encore:. On les convertit en effet en séries géométriques qui peuvent être sommées exactement [ 3]. De façon générale, la resommation de Poisson est utile dans la mesure où une série qui converge lentement dans l'espace direct peut être transformée en une série convergeant beaucoup plus vite dans l'espace de Fourier (si l'on prend l'exemple de fonctions gaussiennes, une loi normale de grande variance dans l'espace direct est convertie en une loi normale de variance petite dans l'espace de Fourier).
Formule sommatoire de Poisson [ modifier | modifier le code]
Convention [ modifier | modifier le code]
Pour toute fonction à valeurs complexes et intégrable sur ℝ, on appelle transformée de Fourier de l'application définie par
Théorème [ modifier | modifier le code]
Soient a un réel strictement positif et ω 0 = 2π/ a. Si f est une fonction continue de ℝ dans ℂ et intégrable telle que
et
[ 1],
alors
Démonstration [ modifier | modifier le code]
Le membre de gauche de la formule est la somme S d'une série de fonctions continues. La première des deux hypothèses sur implique que cette série converge normalement sur toute partie bornée de ℝ. Par conséquent, sa somme est une fonction continue. De plus, S est a -périodique par définition. On peut donc calculer les coefficients complexes de sa série de Fourier:
l' interversion série-intégrale étant justifiée par la convergence normale de la série définissant S. On en déduit
D'après la seconde hypothèse sur, la série des c m est donc absolument convergente.
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Quant aux coffres de moyenne et grande capacité (les plus longs), qui sont les plus vendus. Grâce à des largeurs plus importantes, ils présentent des capacités allant de 390 à 570 litres, et conviennent à tous les types de voitures, familiales, monospaces, 4×4, SUV et berlines. Coffre de toit long et petite voiture, c'est possible? En théorie, si l'écartement des barres de toit le permet, il est toujours possible de mettre un coffre de toit long sur un petit véhicule. Par contre, vous aurez des bruits de soufflerie importants si le coffre dépasse à l'avant du pavillon. Très désagréable sur les longs trajets! Par ailleurs, plus le coffre dépasse de l'avant du pavillon, plus la prise au vent est importante avec une consommation de carburant nettement accrue. C'est donc vivement déconseillé! Le bon système d'ouverture / fermeture
Systèmes d'ouverture
Ouverture bilatérale: Le coffre s'ouvre des deux côtés, ce qui est particulièrement pratique en ville pour charger ou décharger toujours du côté du trottoir.
Pour tous les conducteurs qui se sont décidés à investir dans ce type d'équipement de voiture, il faudra avant tout achat se renseigner sur les différentes possibilités afin d'avoir l'assurance de choisir le bon produit. Il est important de savoir qu'il existe quatre catégories distinctes de coffres de toit. Les coffres pliants
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Ce partenaire auto s'adopte facilement et vous permet de vous libérer de vos contraintes quotidiennes. C'est un ART de vivre! Convenant parfaitement aux personnes qui ont des besoins ponctuels, ils se rangent facilement dans un espace de la voiture et se fixent sur le toit dès que nécessaire. Pour les spécialistes, ce modèle est de plus en plus envisagé car les automobilistes ont envie de pallier à toute éventualité. Les coffres compacts
Appelés aussi coffres courts, ils sont étudiés pour pouvoir se placer sur une petite voiture ou sur une citadine sans dépasser le toit. Il s'agit alors d'un espace d'appoint car les coffres de ces voitures sont souvent vite remplis. Avec une ouverture vers l'arrière, ils sont particulièrement pratiques car ils peuvent se remplir en même temps que le coffre de voiture. Les coffres mixtes
Beaucoup plus longs, ils s'adressent aux berlines ou aux familiales. L'ouverture se fait sur le côté mais il ne s'agit que d'un détail car il est possible d'y ranger des affaires en se partageant la tâche.