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Séries Numériques Problèmes Corrigés Des Épreuves
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Créé
01-Juil-2017 15:09:12
Modifié le
01-Juil-2017 16:31:43
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94. THEOREME | Problèmes corrigés sur les suites et séries numériques – CPGE ATS (Adaptation Technicien Supérieur). 32 KB
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Thierry LEGAY
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Séries Numériques Problèmes Corrigés Pour
a) On note si,
Montrer que vérifie:
b) Montrer que converge. Question 2
Utiliser la première question, pour montrer que si la suite est une suite de réels décroissante, convergente de limite nulle, est convergente. Question 3
a) Montrer que, la série de terme général converge. b) Montrer que pour tout et, les séries de termes généraux et convergent. c) Montrer que si et, la série de terme général ne converge pas absolument. (on pourra comparer et). Corrigé de l'exercice sur la transformation d'Abel:
a) On peut aussi raisonner par récurrence ou démontrer comme ici entièrement la formule. Si,. On a utilisé si et..
(avec). Soit
b) Soit tel que pour tout,, donc (produit d'une suite bornée et d'une suite qui converge vers 0). Soit. est la somme partielle d'ordre de la série de terme général avec. Séries numériques problèmes corrigés de l eamac. Comme la suite de terme général converge, la série de terme général converge, donc la série de terme général converge absolument, on en déduit que la suite converge. Donc la suite converge par somme de deux suites convergentes.
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24) Séries (515. 243)
Séries Numériques Problèmes Corrigés Du Web
on définit la suite par
et si. Donner une CNS sur pour que la suite converge. Corrigé de l'exercice:
Par une récurrence simple,,
La suite est strictement croissante. Si la suite converge vers, comme, on en déduit que. La série de terme général converge, donc la série de terme général converge. Puis, la série de terme général converge. Séries numériques problèmes corrigés des épreuves. Si converge, en écrivant puisque et:, la série de terme général converge par domination, donc la suite converge. Conclusion: la suite converge ssi converge. 3. Comparaison avec une intégrale
Soit et si,. On note, montrer que. On note: [1, [,. est décroissante. Si, pour tout,,
en intégrant sur,
alors si,
Soit, si, on somme pour, on obtient:
puis par la relation de Chasles,
avec
(). Donc
Lorsque tend vers, on obtient
Donc par multiplication par:
Par encadrement,
4 – Transformation d' Abel
Question 1
Soient et deux suites telles que:
la suite est une suite de réels décroissante, convergente de limite nulle
la suite est une suite de complexes telle que si l'on note, pour,, la suite est bornée.
2/ Si la suite est une suite de réels positifs ou nulle, décroissante qui converge vers 0 et si, et, donc la suite est bornée. On peut donc appliquer la première question. La série de terme général est convergente. On remarque que l'on retrouve une partie du théorème des séries alternées. 3/
a) Si, vérifie avec, la série converge absolument. Si, la suite, où est une suite décroissante, convergente vers 0. Corrigé: séries numériques et séries de fonctions - Les classes prépas du Lycée d'Arsonval. On note, alors; comme,
utilisant
on obtient après quotient et simplification,
La suite est bornée si application de la transformation d'Abel, la série de terme général est convergente. b) Les séries de termes généraux et convergent comme partie réelle et partie imaginaire d'une série convergente lorsque et. c) Pour tout, donc si,,
est la somme d'une série de Riemann divergente () et d'une série convergente (cf 3 b pour) donc diverge. Alors diverge. N'attendez pas le dernier moment pour vos révisions, et revoyez les notions de maths les plus importantes au programme de Maths Spé avec nos cours de Maths en ligne:
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réduction d'endomorphismes
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