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Exercices corrigés sur les ensembles ensemble
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Sujet: Exercices corrigés sur les ensembles ensemble (Lu 1099 fois)
Description: 1ère Année MI
sabrina
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« le: décembre 29, 2017, 01:53:13 pm »
Exercices corrigés sur les ensembles ensemble TD1 et TD2
TD 1 les ensembles ensemble corigé
(45. 24 ko - téléchargé 456 fois. ) TD 2 les ensembles ensemble corigé
(447. 72 ko - téléchargé 755 fois. ) IP archivée
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Exercices Corrigés Sur Les Ensembles Lingerie
Montrer que: A ∩ B = A ∩ C ⇔ A ∩ B − = A ∩ C −. Montrer que: { A ∩ C ≠ ∅ et B ∩ C = ∅ ⇒ A ∩ B − ≠ ∅ Montrer que: A ∪ B = B ∩ C ⇔ A ⊂ B ⊂ C. Montrer que: A ∩ B = ∅ ⇒ A = ( A ∪ B) ∖ B. Montrer que: C A×B E×E = ( C A E × E) ∪ ( E × C B E). Exercice 7
On considère l'ensemble suivant: E = {( x, y) ∈ ℝ + × ℝ + / √x + √y = 3}. Montrer que: E ≠ ∅. Montrer que: E ⊂ [ 0, 9] × [ 0, 9]. A-t-on E = [ 0, 9] × [ 0, 9].? Cliquer ici pour télécharger Les ensembles exercices corrigés 1 bac sm
Devoir surveillé sur les ensembles
Exercice 1 (4 pts)
On considère dans ℝ les sous-ensembles suivants: A =] −∞, 3], B =] −2, 7] et C =] −5, +∞ [. Déterminer A ∖ B et B ∖ A, puis déduire A ∆ B. Déterminer A ∩ C et A ∪ C, puis en déduire A ∆ C. Déterminer ( A ∖ B) ∩ C (le complémentaire de ( A ∖ B) ∩ C de ℝ). Exercice 2 (6 pts)
E = { π/6 + kπ/3 / k ∈ ℤ} et F = { π/3 + kπ/6 / k ∈ ℤ}
Déterminer E ∩ [ − π/2, π]. Montrer que: π/3 ∉ E. L'inclusion F ⊂ E est-elle satisfaite? Justifier
Exercice 3 (6 pts)
Déterminer en extension les ensembles:
F = { x ∈ ℤ / 2x+1/x+1 ∈ ℤ} et C = {( x, y) ∈ ( ℤ *) 2 / 1/x + 1/y = 1/5}
B = { x ∈ ℤ / ∣ x ∣ < 3}, E = { x ∈ ℤ / −5 < x ≤ 5} et A = E ∩ ℕ *
A ∩ B, C ( A ∪ B) E, A ∖ B et ( A ∩ B) ∩ C ( A ∪ B) E
Exercice 4 (4 pts)
Soient A, B et C des parties d'un ensemble E.
Montrer que: A − ⊂ B − ⇔ ( A ∖ B) ∪ B = A.
Exercices Corrigés Sur Les Ensembles De Points Video
Les ensembles exercices corrigés 1 bac sm. (1ère année bac sm)
Exercice 1
On considère les deux ensembles:
A = { 5+4k/10 / k ∈ ℤ} et B = { 5+8k′/20 / k′ ∈ ℤ}
Montrer que: A ∩ B = ∅. Exercice 2
Soient les ensembles suivants:
A = { π/4 + 2kπ/5 / k ∈ ℤ}, B = { 9π/4 − 2kπ/5 / k ∈ ℤ} et C = { π/2 + 2kπ/5 / k ∈ ℤ}
Montrer que: A = B. Montrer que: A ∩ C = ∅. Exercice 3
Déterminer en extension les ensembles suivants:
A = {( x, y) ∈ ℤ 2 / x 2 + xy − 2y 2 + 5 = 0}, B = { x ∈ ℤ / x 2 −x+2/2x+1 ∈ ℤ} et C = { x ∈ ℤ / ∣∣ 3x ∣− 4/2 ∣ < 1}
Exercice 4
On considère l'ensemble suivant: E = { √x+√x − √x / x ∈ ℝ + *}. Montrer que: E ⊂] 0, 1]. Résoudre dans ℝ l'équation suivante: √x+√x = 1/2 + √x. A-t-on] 0, 1] ⊂ E? Exercice 5
On considère les ensembles:
E = { 2k − 1 / k ∈ ℤ}, F = { 2k − 1/5 / k ∈ ℤ} et G = { 4−√x/4+√x / x ∈ [ 0, +∞ [}
Montrer que: 8 ∉ F. Montrer que: E ⊂ F. Montrer que: F ⊈ E. Montrer que: G =] −1, 1]. Exercice 6
Soient A, B et C trois parties de E.
Montrer que: A ∩ B ⊂ A ∩ C et A ∪ B ⊂ A ∪ C ⇒ B ⊂ C.
Exercices Corrigés Sur Les Ensembles
Alors on a; alors que. Supposons d'abord surjective et soient telles que. Soit. Il existe de tel que. On en déduit, ce qui prouve. Pour montrer l'implication réciproque, on procède par contraposée en supposant que n'est pas surjective. Il existe donc un point de qui n'est pas dans. On considère alors, défini sur par et sinon, défini sur par pour tout. Alors, puisque pour tout de, on a bien et. exercice 19
1) Soit injective
On a: Donc:
Et puisque est injective, alors: Soit
On en déduit que: 2) Soit surjective
Il existe donc Soit
Il existe donc
On en déduit que 3) Si, est bijective et existe. Soit et
Vérification:
Soit Soient exercice 20
1) Soit
Et puisque
Ce qui implique:
Donc: Soit
Or, pour tout
Si
Ce qui veut dire que 2) Soit
Donc: Immédiat
Exercices Corrigés Sur Les Ensemble Les
Donc On a
Or,
Donc, il s'ensuit que
Ce qui veut dire que tout élément de admet un antécédant dans par l'application
Donc On en déduit que:
3)
Soit surjective et soit
Montrons que Soit
Or, donc
Et donc
Puisque est surjective, il existe dans tel que et
Donc, on en tire que On en déduit:
Montrons que est surjective. Soit et posons
On sait que:
4)
Soit injective et soit
On a donc, il existe alors
Et puisque est injective, et donc
Donc Soit
existe et on a
Il s'ensuit et donc On en déduit:
Montrons que est injective. On a, donc
Puisque; alors
exercice 15
1) on a Soient et deux éléments de tels que
Il s'ensuit directement que
Et puisque est bijective, elle est injective. On en déduit que
On conclut que Soit
Puisque est bijective; elle est surjective. Il existe donc appartenant à tel que:
Donc, en sachant que et en posant
On a donc montré qu'il existe tel que
On en déduit que Conclusion
2) Puisque est bijective, existe et est bijective. Or, puisque est bijective, l'est aussi, et il s'ensuit que l'application est à son tour bijective.
En sachant que:
On conclut que
exercice 16
On a est surjective et est injective, donc est bijective. D'autre part: est donc surjective et injective, donc bijective. En conclusion, est bijective et bijective, donc est bijective. exercice 17
Utilisons l'indication, Si était surjective, nous pourrions trouver tel que. Supposons d'abord; on obtient et par conséquent, ce qui contredit notre hypothèse. Supposons maintenant que; on obtient et par conséquent, ce qui contredit notre hypothèse. Par conséquent, l'élément n'appartient ni à, ni à son complémentaire, ce qui est impossible. Par suite, ne possède pas d'antécédent par, qui est donc non surjective. Remarque: Ce sujet entre dans le cadre du " paradoxe de Russell " (Paradoxe du menteur). exercice 18
Supposons d'abord injective et soient telles que. Alors, pour tout de, on a puisque est injective. On a donc bien. Pour montrer l'implication réciproque, on procède par contraposée en supposant que n'est pas injective. Soit tel que. Posons, et.
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