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Quels que soient a et b réels:
conséquences:
pour tout entier naturel n:
3/ Équations de la fonction exponentielle
Théorème de la fonction exponentielle:
La fonction exponentielle est une bijection de R sur] 0; [
Démonstration:
La fonction exponentielle est strictement croissante et continue sur R donc, d'après le théorème de la bijection: elle réalise une bijection de R sur exp( R). Or, dans le prochain module, l'étude des limites de la fonction exponentielle nous permettra de montrer que: exp ( R) =] 0; [
La fonction exponentielle réalise donc une bijection de R sur] 0; [
Conséquence n° 1:
Le fait que la fonction exponentielle réalise une bijection de R sur] 0; [
signifie que pour tout réel y > 0, il existe un et un seul x réel tel que y = exp(x). On peut donc définir la fonction réciproque de la fonction exponentielle,
qui à tout réel y strictement positif associe le réel x tel que y = exp(x). Cette fonction, donc définie sur] 0; [ et à valeurs dans R est appelée:
fonction logarithme népérien et notée ln.
Les Fonction Exponentielle Terminale Es 6
Se lit: « L » « N » de y. La fonction logarithme népérien sera l'objet d'étude d'un futur module. Ce qu'il est important de comprendre pour l'instant d'un point de vue purement pratique, est que:
tout nombre réel y strictement positif peut s'écrire sous forme exponentielle:
y = exp(x) avec x = ln y
Autrement dit que:
Tout nombre réel y > 0 peut s'écrire: y = exp(ln y)
Conséquence n° 2:
Quels que soient a et b réels:exp(a) = exp(b) ⇔ a = b
Démonstration
Sens réciproque: si a = b alors exp(a) = exp(b). Sens direct:
Le fait que la fonction exponentielle réalise une bijection de R sur] 0; [ signifie que pour tout réel y >0, il existe un et un seul x réel
tel que exp(x) = y. Soient a et b réels tels que exp(a) = exp(b). exp(a) > 0, posons y = exp(a). Si b ≠ a alors il existe deux réels distincts qui ont pour image y par la fonction exponentielle. Ce qui est contraire qu fait que exp soit une bijection de R sur] 0; [ donc a = b.
Utilisation pratique:
Cette équivalence va nous permettre de résoudre des équations du type: exp (x) = k
- si k > 0 alors k peut s'écrire k = exp (ln k) et l'équation devient: exp (x) = exp (ln k)
D'où: x = ln k, d'après l'équivalence.
Les Fonction Exponentielle Terminale Es 8
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Soutien maths - Fonction exponentielle
Cours maths Terminale S
Dans ce module est introduite la fonction exponentielle, en tant que seule fonction ayant pour dérivée elle-même et prenant la valeur 1 en 0. 1/ Définition de la fonction exponentielle
Théorème de la fonction exponentielle: Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que pour tout x réel: f ' (x) = f (x) et f (0) = 1 Définition: Cette fonction est appelée fonction exponentielle et notée exp. Théorème de la fonction exponentielle: Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que pour tout x réel: f
' (x) = f (x) et f (0) = 1
Définition: Cette fonction est appelée fonction exponentielle et notée exp. La dénomination « exponentielle » donnée à cette fonction a la même racine que le mot exposant, nous verrons plus loin pourquoi. Remarques:
1) La démonstration du théorème est admise. ( On trouvera dans la plupart des livres de terminale, la démonstration de l'unicité. ) 2) La fonction exponentielle est donc la seule fonction qui ait pour dérivée elle-même et qui prenne la valeur 1 en 0.
Les Fonction Exponentielle Terminale Es Et Des Luttes
Le mot «exponentielle» quant à lui apparaît pour la première fois dans la réponse de Leibniz. Euler C'est le génial mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783) utilisa pour la première fois la notation e.
La première apparition de la lettre « e » pour désigner la base du logarithme népérien date de 1728, dans un manuscrit d'Euler qui le définit comme le nombre dont le logarithme est l'unité et qui se sert des tables de Vlacq pour l'évaluer à 2, 7182817. Il fait part de cette notation à Goldbach dans un courrier en 1731. Le choix de la lettre est parfois interprété comme un hommage au nom d'Euler lui-même ou l'initiale de « exponentielle ». Pour en savoir plus: la fonction exponentielle et le nombre e
T. D. : Travaux Dirigés sur la fonction Exponentielle
TD n°1: La fonction exponentielle. De nombreux exercices avec une correction intégrale en fin de TD. TD n°2: La fonction exponentielle au Bac. Des extraits d'exercices du bac ES/L avec correction intégrale. Cours sur la fonction Exponentielle
Activités d'introduction:
Act.
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Donc la dérivée de l'exponentielle est strictement positive d'où le résultat. On obtient donc le tableau de variation suivant:
Tangente en 0:
L'équation de la tangente à C exp au point A d'abscisse 0 est:
y = exp ' (0)( x - 0) + exp(0), soit y = x + 1. Courbe représentative:
7. 4 Quelques limites à connaitre
Propriété 7. 7
On a les limites suivantes:
lim x →-∞ e x x =+∞; lim x→+∞ x e x =0 et lim x →0 e x -1 x =1
Démonstration: comme pour la limite de e x en +∞, on étudie les variations d'une fonction. Soit donc la fonction g définie sur IR par:
g x = e x - x 2 2
On calcule la dérivée g ':g' x = e x -x
D'après le paragraphe 2. 3, on a: ∀x∈IR e x >x donc g ' x >0
La fonction g est donc croissante sur IR. Or g 0 =1 donc si x>0 alors g x >0. On en déduit donc que:
pour x>0 g x >0 ⇔ e x > x 2 2 ⇔ e x x = x 2
On sait que lim x →+∞ x 2 =+∞, par comparaison, on a:
lim x→+∞ e x
Pour être sûr de ne pas se retrouver en difficulté lors des contrôles ou des examens, rien ne remplace l'entraînement. Nous proposons aux élèves des exercices à faire comme en classe. Ce sont des sujets qui pourraient tomber en devoirs. C'est la meilleure méthode pour se mettre dans les conditions de l'examen. Les exercices contiennent des astuces et des commentaires pour proposer une expérience enrichie aux élèves.