Forme intégrale [ modifier | modifier le code]
Cas particulier [ modifier | modifier le code]
Inégalité de Jensen —
Soient g une fonction continue de [0, 1] dans] a, b [ (avec –∞ ≤ a < b ≤ +∞) et φ une fonction convexe de] a, b [ dans ℝ. Alors,. Cet énoncé a un sens car sous ces hypothèses, l'intégrale de g appartient à [ a, b] et φ ∘ g est continue sur [0, 1] donc intégrable. Théorie de la mesure [ modifier | modifier le code]
Inégalité de Jensen [ 1], [ 2] —
Soient
(Ω, A, μ) un espace mesuré de masse totale μ(Ω) égale à 1,
g une fonction μ-intégrable à valeurs dans un intervalle réel I et
φ une fonction convexe de I dans ℝ. Alors,
l'intégrale de droite pouvant être égale à +∞ [ 3]. Cet énoncé a un sens car sous ces hypothèses, l'intégrale de g appartient à I. Exercices corrigés -Convexité. Lorsque φ est strictement convexe, les deux membres de cette inégalité sont égaux (si et) seulement si g est constante μ- presque partout [ 4]. De ce théorème on déduit, soit directement [ 2], [ 5], soit via l' inégalité de Hölder, une relation importante entre les espaces L p associés à une mesure finie de masse totale M ≠ 0:,
avec égalité si et seulement si est constante presque partout.
- Inégalité de convexité exponentielle
- Inégalité de convexité ln
- Inégalité de connexite.fr
- Poelée de st jacques saumon et crevettes sautées
Inégalité De Convexité Exponentielle
Une partie $C$ de $E$ est dite convexe si, pour tous $u, v\in C$ et tout $t\in [0, 1]$, alors
$tu+(1-t)v\in C$. Proposition: Une partie $C$ de $E$ est convexe si et seulement si
elle contient tous les barycentres de ses vecteurs affectés de coefficients positifs. Fonctions convexes d'une variable réelle
$I$ est un intervalle de $\mathbb R$ et $f$ est une fonction de $I$ dans $\mathbb R$. On dit que $f$ est convexe si, pour tous $x, y\in I$ et tout $t\in [0, 1]$, on a
$$f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y). $$
Autrement dit, $f$ est convexe lorsque son épigraphe $E(f)$ est convexe, où
$$E(f)=\{(x, y);\ x\in I, y\geq f(x)\}$$
(il s'agit donc de la partie située au dessus de la courbe de $f$). Convexité - Mathoutils. Ceci signifie aussi que la courbe représentative de $f$ est en-dessous
de l'une quelconque de ses cordes
entre les deux extrémités de la corde. Proposition: $f$ est convexe si et seulement si, pour tout $n\geq 2$, pour tous
$x_1, \dots, x_n\in I$, pour tous réels $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ de $[0, 1]$ tels que $\sum_{i=1}^n\lambda_i=1$, alors
$$f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i\right)\leq \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i).
Inégalité De Convexité Ln
A l'aide de cette propriété, on démontre de nombreuses inégalités comme
$$\forall x\in\left[0, \frac\pi2\right], \ \frac{2}{\pi}x\leq\sin(x)\leq x$$
$$\forall x\in\mathbb R, \ \exp(x)\geq 1+x$$
$$\forall x>-1, \ \ln(1+x)\leq x. $$
Inégalité De Connexite.Fr
Ainsi N a pour coordonnées ( t a + ( 1 − t) b; t f ( a) + ( 1 − t) f ( b)). Puisque l'ordonnée de P est inférieure à celle de N, on peut écrire: f ( t a + ( 1 − t) b) ≤ t f ( a) + ( 1 − t) f ( b). d) Si f est concave sur I, la courbe représentant f est située au-dessus de ses cordes. L'ordonnée de P est donc supérieure à celle de N, soit: f ( t a + ( 1 − t) b) ≥ t f ( a) + ( 1 − t) f ( b). Inégalité de connexite.fr. Étudier la convexité d'une fonction composée Soient a et b deux éléments de I et t ∈ 0; 1. Une fonction croissante conserve l'ordre; l'ordre des images est le même que celui des éléments de départ. Puisque f est convexe sur I, on a: f ( t a + ( 1 − t) b) ≤ t f ( a) + ( 1 − t) f ( b). Comme g est croissante sur ℝ, on en déduit que: g f t a + ( 1 − t) b ≤ g t f ( a) + ( 1 − t) f ( b). De plus, g étant convexe, on a aussi d'après la partie A: g t f ( a) + ( 1 − t) f ( b) ≤ t g f ( a) + ( 1 − t) g f ( b). Cela entraîne g f ( t a + ( 1 − t) b) ≤ t g f ( a) + ( 1 − t) g f ( b), soit h t a + ( 1 − t) b ≤ t h ( a) + ( 1 − t) h ( b).
Soient a 1, a 2, b 1, b 2 ∈ ℝ +, déduire de ce qui précède:
a 1 b 1 a 1 p + a 2 p p b 1 q + b 2 q q ≤ 1 p a 1 p a 1 p + a 2 p + 1 q b 1 q b 1 q + b 2 q . (c)
Conclure que
a 1 b 1 + a 2 b 2 ≤ a 1 p + a 2 p p b 1 q + b 2 q q . (d)
Plus généralement, établir que pour tout n ∈ ℕ et tous a 1, …, a n, b 1, …, b n,
∑ i = 1 n a i b i ≤ ∑ i = 1 n a i p p ∑ i = 1 n b i q q . Par la concavité de x ↦ ln ( x), on a pour tout a, b > 0 et tout λ ∈ [ 0; 1] l'inégalité:
λ ln ( a) + ( 1 - λ) ln ( b) ≤ ln ( λ a + ( 1 - λ) b) . Appliquée à λ = 1 / p, elle donne
ln ( a p b q) ≤ ln ( a p + b q)
puis l'inégalité voulue. Focus sur les inégalités de convexité - Major-Prépa. Enfin celle-ci reste vraie si a = 0 ou b = 0. Il suffit d'appliquer l'inégalité précédente à
a = a 1 p a 1 p + a 2 p et b = b 1 q b 1 q + b 2 q . De même, on a aussi
a 2 b 2 a 1 p + a 2 p p b 1 q + b 2 q q ≤ 1 p a 2 p a 1 p + a 2 p + 1 q b 2 q b 1 q + b 2 q
donc en sommant les inégalités obtenues puis en simplifiant on obtient celle voulue.
Réserver. Ajouter dans la poêle 3 cuil. de crème fraîche + les épices. Bien mélanger. Recette de Saint Jacques poêlées, sauce aux jeunes oignons et crevettes. Remettre les cubes de saumon + les crevettes (sans la tête mais avec la carapace pour conserver les sucs). Saupoudrer de sel à votre convenance, quelques baies roses et des petits brins de persil. Couvrir et faire chauffer doucement quelques minutes. Découvrir et mélanger les sucs et épices en basculant la poêle afin d'obtenir le maximum de jus. Ajouter les noix de St Jacques et laisser mijoter 5 minutes à feu doux sans toucher au contenu. Servir quelques minutes après, bien chaud! Servir avec une fondue de poireaux ou de la polenta.
Poelée De St Jacques Saumon Et Crevettes Sautées
Poêlée de Saint-Jacques, crevettes et saumon aux épices douces et parfumées | Les épices rient! | Recettes de cuisine, Cuisine poisson, Recette poisson
- Coupez le saumon en dés. - Pelez et émincez l'échalote. - Dans une sauteuse, mettez le beurre à chauffer, ajoutez-y les noix de Saint-Jacques, les dés de saumon, les crevettes et l'échalote hachée. Laissez mijoter à feu doux pendant 5 mn
environ. - Arrosez de Cognac et faites flamber. - Saupoudrez la poêlée de fumet de poisson, mélangez. Poivrez, saupoudrez d'aneth et ajoutez la crème fraîche. Poelée de st jacques saumon et crevettes | Recette de cuisine 28497. Mélangez à nouveau. Laissez mijoter à feu doux pendant 5 mn. Vous pouvez accompagner cette délicieuse poêlée, selon vos goûts, d'un riz basmati ou de tagliatelles et décorer de quelques brins de persil. Bonne poêlée! Je vous souhaite de passer une délicieuse journée;o)