Fiche n°1
Ensemble de définition d'une fonction définie avec un quotient
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Déterminer l'ensemble de définition des quatre fonctions suivantes et étudier leur parité: | | √ √ 1- Etudions l'ensemble de définition, puis la parité de la fonction définie par: () La fonction est une fonction rationnelle, définie si et seulement si son dénominateur est non nul. Résolvons donc pour identifier les valeurs interdites. ()() On en déduit, l'ensemble de définition de: * + -, -, -, est symétrique par rapport à. Calculons de ce fait (). Pour tout, Ensembles de définition et parité – Exercice corrigé () () () () Seconde (2 nde) Exercice 1 (2 questions) Niveau: difficile Correction de l'exercice 1 () Pour tout, () (); il en résulte que la fonction est impaire.
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On pourra alors noter D f = R Df=\mathbb{R}. Pourquoi n'en serait-il pas toujours ainsi? Tout simplement parce que certaines opérations ne sont pas autorisées. (On dit qu'elles ne sont pas définies). Pour vous en rendre compte, vous pouvez essayer de taper certaines opérations, 1: 0 1:0 ou − 3 \sqrt{-3}: la calculatrice renverra un message d'erreur. En seconde, il faut connaître 2 opérations interdites:
diviser par zéro
racine carrée d'un nombre négatif. 1er exemple
Quel est l'ensemble de définition de la fonction f f pour:
f ( x) = x 2 x − 4 f(x)=\dfrac{x}{2x-4}
f ( x) f(x) existe si et seulement si:
2 x − 4 ≠ 0 2x-4\neq 0
2 x ≠ 4 2x\neq 4
x ≠ 2 x \neq 2
Tous les nombres réels sauf 2 2 pourront donc avoir une image. On note:
D f = R Df= \mathbb{R} − 2 -{2} ou D f = R Df=\mathbb{R} \ 2 {2}
ou encore D f = Df=] − ∞; + 2 [ \mathinner{\mathopen{]}-\infty;+ 2\mathclose{[}} ∪ \cup] + 2; + ∞ [ \mathinner{\mathopen{]}+2;+\infty\mathclose{[}}
2ème exemple
Quel est l'ensemble de définition de la fonction g g pour:
g ( x) = 8 − 2 x g(x) = \sqrt{8-2x}
g ( x) g(x) existe si et seulement si:
8 − 2 x ≥ 0 8-2x \geq 0
− 2 x ≥ − 8 -2x \geq -8
x ≤ 4 x \leq 4
Tous les nombres inférieurs à 4 4 pourront avoir une image.
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Comment détermine-t-on l'ensemble de définition d'une fonction? C'est une question qui peut être posée aux élèves de seconde. Cette notion reste néanmoins importante dans toutes les autres classes pour bien comprendre le mécanisme des fonctions. Ce cours, assorti d' exemples face aux situations les plus courantes, ainsi que d'une vidéo explicative, cherche à donner des explications simples et concrètes sur l'ensemble de définition. Plan du cours
Après un bref rappel théorique de la définition de l'ensemble de définition (ou domaine de définition), le cours explique comment on trouve cet ensemble de définition des 2 manières suivantes:
à partir de l' expression d'une fonction
à partir de sa représentation graphique. Qu'est-ce-que l'ensemble de définition? Pour comprendre ce qu'est l'ensemble de définition (ou domaine de définition), il faut déjà avoir bien compris ce qu'est une fonction. Dans un autre article, nous avons expliqué qu'une fonction est un procédé qui associe un nombre x x à un autre nombre noté f ( x) f(x):
f: x f:x ⟶ f ( x) \longrightarrow f(x)
Et l'ensemble de définition dans tout ça?
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- Si la variable correspond à une vitesse alors la relativité restreinte indique que sa valeur ne peut pas dépasser 300 000 km/s. Restrictions liées au mode de définition - Si une fonction est définie par un tableau de valeurs alors l'ensemble définition possède comme bornes les valeurs minimale et maximale indiqées dans la première ligne du tableau (celle de la variable). - Si une fonction est définie par un graphique alors l'ensemble de définition coïncide avec l'intervalle des abscisses pour lesquelles la courbe est tracée. Aux extrêmité, des conventions permettent de savoir, de distinguer des points exclus du domaine de définition (souvent symbolisé par un demi cercle orienté vers l'extérieur de la courbe) de ceux qui en font partie ( souvent représentés par un point).
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On note:
D g = Dg=] − ∞; 4] \mathinner{\mathopen{]}-\infty; 4\mathclose{]}}
Déterminer à partir de la courbe représentative de f f
Je rappelle ce que j'avais expliqué dans le précédent article: la courbe représentative de f f est l'ensemble des points donc les coordonnées sont ( x; f ( x)) ( x; f(x)). Si l'on veut trouver l'ensemble de définition, autrement dit l'ensemble des x x, il suffit de lire graphiquement l'ensemble des abscisses des points de la courbe représentant f f. Voici un exemple illustré:
On lit les abscisses des points de la courbe représentative de f. Ici nous avons:
D f = Df= [ − 4; 5] \mathinner{\mathopen{[}-4; 5\mathclose{]}}
Accès au cours sur le site de Thierry:
Cliquez ici pour accéder au cours sur la détermination d'un ensemble de définition d'une fonction. Par Thierry
Toutes nos vidéos sur déterminer l'ensemble de définition d'une fonction
Il est constitué de plusieurs centaines d'exercices corrigés de mathématiques comme celui de cette page pour le collège avec des rappels de cours, ainsi que des interrogations, des contrôles et des sujets de brevet corrigés. Tous les chapitres sont abordés: calculs, nombres relatifs, fractions, puissances, proportionnalité, équation, inéquation, racine carrée, calcul littéral, identités remarquables, proportionnalité, statistiques, fonctions linéaires et affines, démonstration, géométrie, Pythagore, Thalès, espace, trigonométrie, systèmes, symétries, angles, aire, volume... Aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur.
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L'un des atouts principaux de l'EM7 est son aptitude à s'adapter à tous les matériaux. Qu'il s'agisse de plastique, caoutchouc, vinyle ou métal, il reste performant. Disposant d'un fort effet de dégraissement, il nettoie en profondeur toutes les surfaces. Les poussières statiques sont également enlevées. Grâce à cette caractéristique, l'EM7 peut s'utiliser en n'importe quelle saison. Même pendant la pluie, vous pourrez en faire usage et obtenir le même résultat qu'en été. En ce qui concerne son utilisation, il est disponible pour les deux formules à savoir:? prélavage hard;? shampooing hard. Autrement dit, l'EM7 est apte à servir en matière de prélavage et lors du lavage. Sa deuxième utilisation est possible grâce à ses composants ultra-moussants. EM7: conditionnement et mode d'emploi
Le produit de prélavage d'Alchimy7 se commercialise dans les bidons de 1L, 2, 5L, et 5L. Son mode d'emploi dépend des parties à nettoyer. En effet, pour les zones basses de votre voiture, il faut une dilution du produit dans l'eau de 0, 5% à 20%.
Ce que l'on peut observer c'est que le Autobrite est le shampoing qui mousse le plus dans ce test. La mousse a été laissée 8 minutes sur le véhicule. Le résultat de la meilleure mousse est le suivant:
2 Quel produit nettoie le mieux? John applique sur différentes sections un mélange de saleté, d'huile, de solvant, d'eau, de suie et de boue, et laisse sécher le tout. Il applique ensuite un mélange de chaque produit avec de l'eau, dilué comme ceci:
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4 Quels shampoings snow foam vaut son prix? Le classement est calculé sur le coût par lavage, en utilisant le ratio recommandé par la marque, pour 5 litres de produit au total.