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dimanche 1er avril 2018, par
Méthode
Pour comprendre cette méthode, il est indispensable d'avoir assimilé celle-ci: Dériver les fonctions usuelles. Nous allons voir ici comment dériver la somme de deux fonctions ainsi que le produit d'une fonction par un réel. On considère deux fonctions $f$ et $g$ dérivables sur un intervalle $I$ ainsi qu'un nombre réel $k$. Reconnaître une somme, un produit ou une différence – Video-Maths.fr. Alors $f+g$ et $k\times f$ sont dérivables sur $I$ et:
$(f+g)'=f'+g'$ $(k\times f)'=k\times f'$
Ces formules ne vous semblent sans doutes pas très "parlantes". La vidéo et les exercices ci-dessous visent à éclaircir les choses. Notons toutefois que pour bien dériver une somme ou un produit d'une fonction par un réel, il est nécessaire de:
connaître les dérivées des fonctions usuelles (polynômes, inverse, racine, exponentielle, logarithme népérien, etc... ) savoir reconnaître une situation de somme de fonctions ou de produit d'une fonction par un réel.
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$f(x)=x^2+x^3$ sur $\mathbb{R}$. $g(x)=\frac{1}{x}-\sqrt{x}$ sur $]0;+\infty[$. $h(x)=x-\frac{1}{x}$ sur $]0;+\infty[$. $k(x)=1+x-x^2$ sur $\mathbb{R}$. $m(x)=e^{x}-\ln(x)$ sur $]0;+\infty[$. Voir la solution
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Pour tout $x\in \mathbb{R}$,
$\begin{align}
f'(x) & =2x^1+3x^2 \\
& =2x+3x^2
\end{align}$
$g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$. Pour tout $x\in]0;+\infty[$,
$g'(x) =-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$h$ est dérivable sur $]0;+\infty[$. Somme d un produit chez l'éditeur. Pour tout $x\in]0;+\infty[$,
h'(x) & =1-\left(-\frac{1}{x^2}\right) \\
& =1+\frac{1}{x^2}
$k$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Pour tout $x\in \mathbb{R}$,
k'(x) & =0+1-2x \\
& =1-2x
$m$ est dérivable sur $]0;+\infty[$. Pour tout $m\in]0;+\infty[$,
$m'(x)=e^{x}-\frac{1}{x}$
Niveau facile
Dériver les fonctions $f$, $g$, $h$, $k$ et $m$ sur les intervalles indiqués. $f(x)=2x^5$ sur $\mathbb{R}$. $g(x)=\frac{\sqrt{x}}{3}$ sur $]0;+\infty[$. $h(x)=\frac{-4}{5x}$ sur $]0;+\infty[$. $k(x)=\frac{e^{x}}{5}$ sur $\mathbb{R}$.
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En d'autre terme un nombre "x" donne une image y=h(x) par une fonction h qui elle même donne une image g(y) par une fonction g. Exemple La fonction f(x) = (2x +1) 2 peut être considérée commme la composée de la fonction afine h(x) = 2x + 1 par la fonction carré g(x) = x 2. En effet g(h(x)) = (h(x)) 2 = (2x +1) 2 Théorème Soit f(x) la composée de la fonction h(x) par g(x) telle que f(x) = g(h(x)) alors si h(x) admet une limite "b" en un point a et que g(x) admet une limite "c" au point "b" alors la limite de la fonction f(x) en x0 est b:
si h(x) = b et g(x) = c alors f(x) = c
a, b, et c peuvent désigner aussi bien un réel que ou
Somme, produit ou quotient
SCORE:
L'expression suivante est
une somme
un produit
un quotient
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