Un trafic aérien au plus bas Quarante distributeurs sans contact de gel hydroalcoolique ont été installés dans l'aéroport, où le port du masque est obligatoire. Partout des marquages au sol invitent les voyageurs à garder les distances entre eux. Aux postes d'inspection filtrage, les palpations sont limitées au strict minimum et les bacs, réservés aux effets des voyageurs, sont systématiquement désinfectés. Camera thermique avion de la. « J'ai demandé à Air France d'être extrêmement vigilant » sur le taux de remplissage des avions, aujourd'hui de 45 à 50% sur le court et le moyen-courrier et d'à peu près 30% sur le long-courrier, a expliqué Jean-Baptiste Djebbari, alors que la question de la distanciation entre passagers aériens fait polémique. « Ça, c'est aujourd'hui la protection sanitaire dans le contexte fragile qu'on connaît. Demain il faudra qu'on s'accorde sur les éléments sanitaires pour la reprise » du trafic, a-t-il poursuivi. Le trafic aérien s'est effondré depuis le mois de mars au fur et à mesure des fermetures de frontières pour éviter la propagation du virus.
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Cours en ligne de Maths en ECS2
Corrigés – Calcul de l'espérance, loi de Poisson
Exercice 1: Boules et limite de l'espérance
boules () sont réparties dans urnes. Question 2:
est une v. a. r. finie, donc elle admet une espérance. En utilisant la formule de l'espérance toale:. Or. Donc. Question 3:
La suite est arithmético-géométrique. Si,. On a alors:, et comme, on obtient:. Si, pour. Si,, donc quand, donc quand. Exercice 2: Loi et calcul de l'espérance
Une urne contient boules numérotées de à (). On effectue des tirages successifs d'une boule de l'urne, en remettant chaque fois la boule tirée dans l'urne avant le tirage suivant. Pour, désigne le rang du tirage où l'on voit apparaître pour la première fois numéros distincts, si cette circonstance se produit, sinon prend la valeur. Question 1:
On a: le premier numéro est évidemment un nouveau numéro. Question 2:, donc p. s., et pour,, donc suit une loi géométrique de paramètre. (i) Pour, prend ses valeurs dans: il faut au moins un tirage supplémentaire pour voir apparaître un nouveau numéro, et on peut aussi tirer toujours des numéros déjà obtenus.
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Si les sommes infinies écrites convergent, on a:. Cette dernière série converge et a pour somme. Donc admet une espérance et. Pour,. Les événements de l'union sont deux à deux disjoints, et vides si: il ne peut pas y avoir plus d'acheteurs que de clients. Donc:. Cette dernière somme vaut, donc, donc suit une loi de Poisson de paramètre. Des progrès en maths ne seront visibles que si les révisons et les entraînements sont réguliers, pour cela aidez-vous de nos cours en ligne d'ECS2 en maths:
les couples de variables aléatoires discrètes
les couples et n-uplets de variables aléatoires générales dans le cas général
introduction aux fonctions de n variables
le calcul différentiel
les compléments en algèbre linéaire
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Moments, fonctions de répartition
Enoncé Soit $X$ une variable aléatoire admettant un moment d'ordre 2. Démontrer que $E\big((X-a)^2\big)$ est minimal
pour $a=E(X)$. Enoncé On dit qu'une variable aléatoire réelle $X$ est quasi-certaine lorsqu'il existe un réel $a$ tel que $P(X=a)=1$. Soit $X$ une variable aléatoire réelle telle que $X(\Omega)$ soit fini ou dénombrable. Démontrer que $X$ est quasi-certaine si et seulement si $V(X)=0$. Enoncé Soit $X$ une variable aléatoire réelle et soit $M\subset\mathbb R$ tel que,
tout $x\in M$, $P(X=x)>0$. Démontrer que $M$ est fini ou dénombrable. Enoncé Soit $F:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction croissante, continue à droite,
vérifiant $\lim_{-\infty}F=0$ et $\lim_{+\infty}F=1$. On veut démontrer qu'il existe une variable
aléatoire $X$ dont $F$ est la fonction de répartition. Pour $u\in]0, 1[$, on pose
$$G(u)=\inf\{x\in\mathbb R;\ F(x)\geq u\}. $$
Vérifier que $G$ est bien définie. Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb R$ et tout $u\in]0, 1[$, $F(x)\geq u\iff x\geq G(u)$.
Enoncé Soit $X$ une variable aléatoire. On souhaite démontrer que
$\phi_X(1)=1$ si et seulement si $P_X(\mathbb R\backslash2\pi \mathbb Z)=0$. On suppose que $\phi_X(1)=1$. Démontrer que $\int_{\mathbb R}(1-\cos x)dP_X(x)=0$. En déduire que $P_X(\mathbb R\backslash2\pi \mathbb Z)=0$. Démontrer la réciproque. Démontrer que ces deux conditions sont aussi équivalentes à $\phi_X$ est $1$-périodique. Enoncé Soient $X, Y$ deux variables aléatoires réelles indépendantes de même loi. On suppose qu'elles possèdent un moment d'ordre 2 et on note $\sigma^2$ leur variance commune. On suppose de plus que $\frac{X+Y}{\sqrt 2}$ a même loi que $X$. Démontrer que $X$ est d'espérance nulle. Donner un développement limité à l'ordre 2 de $\phi_X$. Démontrer que
$$\forall n\geq 1, \ \forall t\in\mathbb R, \ \left[\phi_X\left(\frac{t}{2^{n/2}}\right)\right]^{2^n}=\phi_X(t). $$
En déduire que $X$ suit une loi normale dont on précisera les paramètres. Retrouver ce résultat en appliquant le théorème limite central.