L'intégrale de f(x) - g(x) désigne l'aire délimitée par les deux courbes
Suites de fonction
Il arrive d'étudier une série de courbes et de fonctions $f_1(x)$, $f_2(x)$, etc. Il s'agit d'une suite de fonction $f_n(x)$ qui s'exprime en fonction de l'entier n et du réel x. La convergence d'une suite de fonctions donne une fonction. Les études de fonctions. Exemple:
$$f_n(x)=\frac{1}{n}+x$$
$$\lim_{n \to \infty} f(x) = x$$
Justifier que k(appartenant à Ck) est un entier positif > 2
fn(X) = K constante alors toutes les courbes Cn passent par le point (X, K)
Une suite d'intégrales $In$ est convergente si elle est décroissante et minorée par un réel (0 par exemple)
Manipulation d'intégrales: Utiliser la positivité de l'intégrale si la fonction est positive pour tout naturel non nul.
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Convergence normale - Soit $I$ un intervalle et $(u_n)$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb R$. On dit que la série $\sum_n u_n$ converge normalement sur $I$ si la série numérique $\sum_n \|u_n\|_\infty$ est
convergente. Prouver la convergence normale de $\sum_n u_n$ sur $I$ revient donc à trouver une inégalité
$$|u_n(x)|\leq a_n$$
valable pour tout $x\in I$, où $(a_n)$ est une suite telle que la série $\sum_n a_n$ converge. Etudier le sens de variation d'une fonction - 1ère - Méthode Mathématiques - Kartable. L'intérêt de la notion de convergence normale réside dans l'implication:
$$\textbf{convergence normale}\implies\textbf{convergence uniforme}. $$
Ainsi, si la série $\sum_n u_n$ converge normalement sur $I$ de somme $S$, et si les fonctions
$u_n$ sont toutes continues sur $I$, $S$ est aussi continue. Théorème de permutation des limites - Le théorème de permutation des limites prend la forme suivante pour
les séries de fonctions:
Soit $I=[a, b[$, $(u_n)$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb R$ telle que la série $\sum_n u_n$ converge
uniformément vers $S$ sur $I$.
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Concavité et points d'inflexion
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I telle que f ' est dérivable sur I alors:
f est convexe sur I si et seulement si pour tout x appartenant à I f'' (x) est superieure ou égale à 0
f est concave sur I si et seulement si pour tout x appartenant à I f'' (x) est inférieure ou égale à 0. Étude de fonction méthode sur. La courbe représentative de la fonction f a un point d'inflexion d'abscisse c si et seulement si f '' s'annule en changeant de signe en c. 7. Représentation graphique
On trace les asymptotes et tangentes
on place les points critiques et les point d'inflexion
on trace la courbe avec l'ensemble des autre indices recueillis durant l'etude
Limite de f(x) quand x tend vers c+ =l'infini
Point fixe
On dit que x appartenant à Df est un point fixe de f si f(x) = x
• f est convexe sur I si et seulement si pour tout x appartenant à I f'' (x) est superieure ou égale à 0
• f est concave sur I si et seulement si pour tout x appartenant à I f'' (x) est inférieure ou égale à 0.
Étude d'une fonction numérique
Cette page constitue un résumé des différentes étapes de l'étude d'une fonction jusqu'à sa représentation graphique. Il s'agit bien sûr d'une étude manuelle telle qu'elle est enseignée au lycée ou après le bac. Bref, la procédure classique. Évidemment, tracer une courbe grâce à un logiciel ou à une calculatrice graphique est plus rapide mais pas toujours plus sûr… Et les étapes « classiques » peuvent s'inscrire dans une étude plus large (résolution d' intégrales, par exemple). Étude de fonction méthode des. Plan d'étude
Premièrement, il s'agit de délimiter l' ensemble de définition, notamment en vérifiant s'il n'existe pas des impossibilités mathématiques. Dans l' ensemble des réels, un dénominateur ne doit pas être nul, une racine carrée est positive ou nulle, un logarithme est strictement positif, etc. La modélisation d'une problématique concrète restreint l'ensemble de définition à un intervalle fini. Deuxièmement, on vérifie si, éventuellement, on peut se contenter d'un ensemble d'étude plus petit qu'un ensemble de définition.
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