La stricte croissance de assure que si et si. La fonction est strictement croissante et s'annule en. est strictement décroissante sur et strictement croissante sur. On peut démontrer que et. Étude aux bornes:
En utilisant la continuité de en 1, et la relation,,
ce qui donne. La courbe admet une asymptote d' équation. Soit et la partie entière de. Par croissance de sur, donc. Cette minoration donne:
La courbe représentative de admet une branche parabolique de direction. La fonction est convexe. 6. Autres types de fonctions définies avec une intégrale
On se place dans le cas où est définie par, étant continue. 6. Domaine de définition. On cherche le domaine de définition de. On suppose dans la suite que est continue sur. Puis on détermine l'ensemble des tels que et soient définis et tels que le segment d'extrémités et soit inclus dans un intervalle sur lequel est continue. On note le domaine de définition de. Intégrale paramétrique — Wikipédia. ⚠️: les domaines et peuvent être distincts. exemple, est continue sur. Trouver le domaine de définition de.
Intégrale À Paramétrer Les
En coordonnées polaires (l'axe polaire étant OA), la lemniscate de Bernoulli admet pour équation:
En coordonnées cartésiennes (l'axe des abscisses étant OA), la lemniscate de Bernoulli a pour équation (implicite):
L'abscisse x décrit l'intervalle [– a, a] (les bornes sont atteintes pour y = 0). Intégrale à paramètre exercice corrigé. L'ordonnée y décrit l'intervalle (les bornes sont atteintes pour). La demi-distance focale est
En partant de l'équation en coordonnées polaires ρ 2 = a 2 cos2 θ on peut représenter la lemniscate de Bernoulli par les deux équations suivantes, en prenant pour paramètre l'angle polaire θ:
Propriétés [ modifier | modifier le code]
Longueur [ modifier | modifier le code]
La longueur de la lemniscate de Bernoulli vaut:
où M ( u, v) désigne la moyenne arithmético-géométrique de deux nombres u et v, est une intégrale elliptique de première espèce et Γ est la fonction gamma. Superficie [ modifier | modifier le code]
L'aire de la lemniscate de Bernoulli est égale à l'aire des deux carrés bleus
L'aire délimitée par la lemniscate de Bernoulli vaut:
Quadrature de la lemniscate: impossible pour le cercle, la quadrature exacte est possible pour la lemniscate de Bernoulli.
(Mais j'ai réfléchi vite fait, ça se trouve un truc m'a échappé. ) (Remarque: l'arc tangente n'est positif que si x est positif. ) - Edité par robun 17 avril 2017 à 2:08:14
17 avril 2017 à 9:31:36
J'ai effectivement penser à faire la majoration que tu as proposé, avec t -> \(\frac{\pi/2}{1+t^2}\) définie au sens de Riemann. Je ne vois pas pourquoi j'ai eu faux à la question (peut-être que quelque chose nous échappe? ) (Remarque: On majore le module de la fonction donc on doit pas faire trop gaffe si x est positif ou négatif je pense non? ) - Edité par JonaD1 17 avril 2017 à 9:36:31
17 avril 2017 à 9:33:46
précision:
La majoration proposée va prouver que l'intégrale existe pour tout \(x\) ( ce qu'il est nécessaire de faire) mais pas la continuité pour tout \(x\). Par exemple si on avait \(\arctan(\dfrac{t}{x})\) au numérateur, la même majoration existe... Intégrale à paramètre bibmath. Le théorème de continuité des fonctions définies par une intégrale ajoute donc les conditions ( suffisantes) supplémentaires à vérifier:
- continuité par rapport à \(x\) de l'intégrande \(f(x, t)\)
-continuité par morceaux de \(f(x, t)\) par rapport à \(t\).
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