Il en donna la première démonstration rigoureuse en 1741 mais annonce en 1735 la découverte de la somme exacte.. Une convergence très lente Pour obtenir 4 décimales exactes, il faut additionner plus de 15 000 termes de la somme. Avec 1000 termes, on n'obtient que 2 décimales et la fraction irréductible comporte déjà plus de 800 chiffres. Cela reste rêveur quand on pense qu'Euler a calculé 20 décimales exactes. Suites et récurrences. - Cours - Fiches de révision. Il utilise en fait des méthodes d'accélération de convergence. $$1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{5^2}+ \cdots =\dfrac{\pi^2}{6}$$
Pour en savoir plus => Le nombre pi: Formules magiques et approximations. Recommander l'article:
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On considère la suite \left(u_n\right) arithmétique de premier terme u_0=2 et de raison r=3. Le terme général (forme explicite) de la suite est donc:
u_n=2+3n, pour tout n\in\mathbb{N}. Fiche sur les suites terminale s r. On obtient la somme des 10 premiers termes de la suite \left(u_n\right) ainsi:
u_0+u_1+\dots+u_9=2+\left(2+3\right)+\dots +\left(2+9\times 3\right)\\u_0+u_1+\dots+u_9=\underbrace{2+2+\dots +2}_{\text{10 fois}}+3+2\times 3+\dots 9\times 3\\u_0+u_1+\dots+u_9=2\times 10+3\times \left(1+2+\dots 9\right)
On voit apparaître la somme des 9 premiers entiers naturels. u_0+u_1+\dots+u_9=20+3\times \dfrac{9\times 10}{2}\\u_0+u_1+\dots+u_9=20+3\times 45\\u_0+u_1+\dots+u_9=155 Pour calculer une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique à partir du terme u_0, on remplace chaque terme par sa forme explicite (terme général) et on factorise par u_0. On considère la suite \left(u_n\right) géométrique de premier terme u_0=2 et de raison q=3. u_n=2\times 3^n, pour tout n\in\mathbb{N}. u_0+u_1+\dots+u_9=2+\left(2\times 3\right)+\dots +\left(2\times 3^9\right)\\u_0+u_1+\dots+u_9=2\times \left(1+3+\dots 3^9\right)
On voit apparaître la somme des q^n avec q=3 et n variant de 0 à 9.
u_0+u_1+\dots+u_9=2\times \dfrac{1-3^{10}}{1-3}
On réduit, si l'on peut, le résultat obtenu.