Définition 1:
Une série entière est une série de la forme
Dans le cas particulier où, ℝ, on a donc une série entière réelle qui apparaît comme un polynôme « généralisé ».. Rayon de convergence. Lorsqu'on étudie la convergence d'une série entière, il est commode de comparer la série étudiée à une série géométrique. Afin de déterminer la nature de la série, lorsque tend vers l'infini, on utilisera la limite du quotient. Soit, une suite numérique et soit
Ce qui permet d'en déduire le théorème de convergence des séries entières:
Théorème 1:
Pour toute série entière, il existe tel que:
Ainsi la série est absolument convergente sur le disque ouvert et est grossièrement divergente sur le complémentaire du disque fermé. Le domaine de définition de la fonction définie par est donc tel que
Dans le cas cas d'une série entière réelle, le domaine définition de la fonction est tel que. Opérations sur les séries entières. Somme et produit
Soit et deux séries de rayons de convergence respectifs et.. Intégration et dérivation
Considérons la série, de rayon de convergence et associons-lui les deux séries suivantes (que l'on peut assimiler à une série dérivée et une série primitive, si l'on considère la variable comme réelle): et
A partir du rapport de d'Alembert, on montre (et admettra dans tous les cas c'est-à dire même quand d'Alembert ne marche pas) que ces trois séries ont le même rayon de convergence:
Ceci nous amène au théorème suivant:
Théorème 2:
Soit une série entière réelle de rayon de convergence On peut intégrer terme à terme: sur.
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SÉRies NumÉRiques - A Retenir
Résumé de Cours de Sup et Spé T. S. I. - Analyse - Séries Entières Sous-sections 23. 1 Rayon de convergence 23. 2 Convergence 23. 3 Somme de deux séries entières 23. 4 Développement en série entière 23. 5 Séries entières usuelles 23. 6 Sér. ent. solution d'une équation diff. Définition: Une série entière est une série de la forme ou, selon que l'on travaille sur ou sur 23. 1 Rayon de convergence Pour rechercher le rayon de convergence, 23. 2 Convergence Théorème: La figure ci-dessous illustre ce théorème. Théorème: Quand la variable est réelle, la série entière se dérive et s'intègre terme à terme sur au moins. Elle s'intègre même terme à terme au moins sur sur l'intervalle de convergence Théorème: La série entière, sa série dérivée et ses séries primitives ont le même rayon de convergence. Théorème: La somme d'une série entière est de classe sur, et continue sur son ensemble de définition. 23. 3 Somme de deux séries entières Théorème: est de rayon 23. 4 Développement d'une fonction en série entière Définition: Une fonction est développable en série entière en 0 il existe une série entière et un intervalle tels que Théorème: Si est développable en série entière en 0 alors la série entière est la série de Taylor et: En général est l'intersection de l'ensemble de définition de et de l'ensemble de convergence de, mais cela n'est pas une obligation...
RÉSumÉ De Cours De Sup Et SpÉ T.S.I. - Analyse - SÉRies EntiÈRes
Dans le cas contraire, pour des modules supérieurs à R, elle diverge. On appelle alors ce réel R le rayon de convergence de la série entière. Le disque de centre 0 et de rayon R est appelé disque ouvert de conver¬ gence de la série entière. CALCUL DU RAYON DE CONVERGENCE Si le rayon de convergence fournit un critère théorique de convergence ou de divergence d'une série entière, il n'est pas toujours aisé de le calculer en pratique. Il existe cependant de nombreuses méthodes afin de le déterminer. On peut, dans certains cas, utiliser directement la définition du rayon de convergence afin de l'expliciter. Si cela n'est pas possible, on peut utiliser la règle de Cauchy (étude de la limite des racines n-ièmes des modules des coefficients an) ou bien la règle de d'Alembert (étude de la limite des modules des quotients de deux coefficients successifs). Il est également possible d'utiliser certains théorèmes, comme le théorème de comparaison de séries entières, celui du rayon de conver¬ gence d'une somme ou d'un produit (énoncé par Cauchy) ou encore de sa dérivée.
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La peinture sur vitre (appelée couramment Windows Color) est une activité que l'on découvre (tout comme la pâte à sel) avec les enfants un mercredi après-midi pluvieux et qui peut vite devenir une activité passionnante pour les adultes. Rapidement, on découvre que les vitres ne seront pas les seuls à être décorées. Du miroir de l'entrée qui va se parer de belles couleurs, aux vases et objets en verre du salon, en passant par les meubles vitrés de la cuisine et jusqu'au carrelage de la salle de bain: que de décorations à inventer pour personnaliser son intérieur. Et, grand avantage, quand on est lassé de cette décoration, on peut tout enlever! La technique de la peinture sur vitre
1. Trouver un joli dessin à réproduire: les coloriages d'enfants sont idéaux car le dessin est simplifié. 2. Placer la feuille où est imprimée le dessin dans une pochette plastifiée (elle sera ré-utilisable). 3. Appliquer directement le cerne avec l'embout du flacon. Si vous venez d'acheter un kit de peinture sur vitre, l'un des flacons (en général noir) est le cerne, à ne pas confondre avec le flacon de peinture noire.
Peinture Sur Pochette Plastique Collant
Récupération utile qui doit pouvoir se demander dans les magasins d'électroménager ou se trouver à la décharge... Avantages: elles sont solides et le bord n'est pas tranchant. La surface est bien grande et on peut les laver facilement. 2/ Etaler la gouache
déposer un peu de gouache sur la plaque en verre ou le support équivalent. Etaler la gouache avec le rouleau en une couche fine. Pour nettoyer le rouleau en 2 secondes, le rouler plusieurs fois sur une feuille de brouillon à côté. Il redevient aussitôt utilisable sans autre nettoyage. 3 / Dessiner
Dessiner directement avec le doigt de façon à retirer de la peinture. Essuyer le doigt de temps en temps s'il est trop chargé en peinture de façon à obtenir un tracé bien net. Les enfants de PS qui ne manient pas encore bien le pinceau ou le crayon, peuvent réaliser facilement ce tracé au doigt (index). Le dessin pourra être figuratif ou plus "abstrait". 4/ Appliquer la feuille
Poser une feuille blanche (ici papier Créatex A3) sur la peinture puis appuyer sur toute la surface avec la main ou mieux, avec le rouleau créatif qui permet une application plus efficace et plus uniforme de la feuille sur la plaque peinte.
Peinture Sur Pochette Plastique Les
Si tout ne part pas, recommencez l'opération jusqu'à ce que toute trace ait disparu. Rincez ensuite avec de l'eau savonneuse ou avec du liquide vaisselle pour retirer toute trace de gras et séchez bien la surface que vous avez traitée. L'avantage de cette méthode est qu'elle vous garantit de ne pas rayer votre surface. © istock
Enlever la colle sur le plastique avec de laque pour cheveux
Pour enlever des traces de colle, il suffit de vaporiser de la laque pour cheveux dessus. Attendez quelques minutes, et ensuite raclez le tout avec une spatule en métal ou en plastique. Il faut faire très attention pour ne pas rayer le support en plastique. La colle part généralement facilement grâce à cette méthode. Il suffit ensuite de rincer l'objet. Enlever la colle sur le plastique avec un sèche-cheveux
Prenez un sèche-cheveux et mettez-le sur la plus grande puissance. Passez-le sur la colle assez longtemps pour qu'elle chauffe et qu'elle fonde. Ensuite, il ne vous reste plus qu'à la retirer avec votre doigt.
On glissera auparavant une feuille blanche. Résultat: encore un fond différent.