°C);
le gradient de température est une grandeur vectorielle indiquant la façon dont la température varie dans l'espace, exprimée en °C/m. Autres transferts de chaleur
Pour un système solide, seul ce processus de transfert par conduction est possible. Pour un système fluide (liquide ou gazeux) il peut aussi se produire des transferts d'énergie par transport de matière, ce processus est appelé convection de la chaleur. Calcul de déperditions dans l'application de la loi de Fourier
Cette loi est utilisée pour le calcul des consommations de chauffage d'un bâtiment. Diffusion de la chaleur - Unidimensionnelle. Plus précisément, pour le calcul des déperditions à travers les parois du bâtiment. Simplification du gradient de température
Pour calculer le flux de chaleur et donc les déperditions à travers une paroi, comme par exemple le mur d'une maison, on va simplifier l'équation de fourrier, vue ci-dessus. Ainsi, on exprimera le gradient de température de la façon suivante:
Introduction de la résistance thermique
Pour faciliter le calcul, en particulier dans le cas de paroi composée de plusieurs matériaux (ce qui est le cas la plupart du temps), les thermiciens ont créé la notion de résistance thermique symbolisée « R ».
Equation Diffusion Thermique Et Acoustique
Il est donc décrit par une équation de type diffusion, la loi de Fourier:
où est la conductivité thermique (en W m −1 K −1), une quantité scalaire qui dépend de la composition et de l' état physique du milieu à travers lequel diffuse la chaleur, et en général aussi de la température. Equation diffusion thermique analysis. Elle peut également être un tenseur dans le cas de milieux anisotropes comme le graphite. Si le milieu est homogène et que sa conductivité dépend très peu de la température [ a], on peut écrire l'équation de la chaleur sous la forme:
où est le coefficient de diffusion thermique et le laplacien. Pour fermer le système, il faut en général spécifier sur le domaine de résolution, borné par, de normale sortante:
Une condition initiale:;
Une condition aux limites sur le bord du domaine, par exemple:
condition de Dirichlet:,
condition de Neumann:, donné. Résolution de l'équation de la chaleur par les séries de Fourier [ modifier | modifier le code]
L'une des premières méthodes de résolution de l'équation de la chaleur fut proposée par Joseph Fourier lui-même ( Fourier 1822).
Equation Diffusion Thermique.Fr
Résolution du système tridiagonal
Les matrices A et B étant tridiagonales, une implémentation efficace doit stocker seulement les trois diagonales, dans trois tableaux différents. On écrit donc le schéma de Crank-Nicolson sous la forme:
Les coefficients du schéma sont ainsi stockés dans des tableaux à N éléments a, b, c, d, e, f, s. On remarque toutefois que les éléments a 0, c N-1, d 0 et f N-1 ne sont pas utilisés. Le système tridiagonal à résoudre à chaque pas de temps est:
où l'indice du temps a été omis pour alléger la notation. Cours-diffusion thermique (5)-bilan en cylindrique- fusible - YouTube. Le second membre du système se calcule
de la manière suivante:
Le système tridiagonal s'écrit:
La méthode d'élimination de Gauss-Jordan permet de résoudre ce système de la manière suivante. Les deux premières équations sont:
b 0 est égal à 1 ou -1 suivant le type de condition limite. On divise la première équation par ce coefficient, ce qui conduit à poser:
La première élimination consiste à retrancher l'équation obtenue multipliée par à la seconde:
On pose alors:
On construit par récurrence la suite suivante:
Considérons la kième équation réduite et la suivante:
La réduction de cette dernière équation est:
ce qui justifie la relation de récurrence définie plus haut.
Equation Diffusion Thermique Analysis
Supposons λ = 0. Il existe alors de même des constantes réelles B, C telles que X ( x) = Bx + C. Equation diffusion thermique.fr. Une fois encore, les conditions aux limites entraînent X nulle, et donc T nulle. Il reste donc le cas λ > 0. Il existe alors des constantes réelles A, B, C telles que
Les conditions aux limites imposent maintenant C = 0 et qu'il existe un entier positif n tel que
On obtient ainsi une forme de la solution. Toutefois, l'équation étudiée est linéaire, donc toute combinaison linéaire de solutions est elle-même solution. Ainsi, la forme générale de la solution est donnée par
La valeur de la condition initiale donne:
On reconnait un développement en série de Fourier, ce qui donne la valeur des coefficients:
Généralisation [ modifier | modifier le code]
Une autre manière de retrouver ce résultat passe par l'application de théorème de Sturm-Liouville et la décomposition de la solution sur la base des solutions propres de la partie spatiale de l'opérateur différentiel sur un espace vérifiant les conditions aux bords.
Théorie analytique de la chaleur (1822), chap. III (fondements de la transformée de Fourier), en ligne et commenté sur le site BibNum.
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