f est définie et de classe 𝒞 ∞ sur] 1; + ∞ [. f ′ ( x) = 1 x ln ( x) et f ′′ ( x) = - ln ( x) + 1 ( x ln ( x)) 2 ≤ 0
f est concave. Puisque f est concave,
f ( x + y 2) ≥ f ( x) + f ( y) 2
c'est-à-dire
ln ( ln ( x + y 2)) ≥ ln ( ln ( x)) + ln ( ln ( y)) 2 = ln ( ln ( x) ln ( y)) . La fonction exp étant croissante,
ln ( x + y 2) ≥ ln ( x) ln ( y) . Montrer
∀ x 1, …, x n > 0, n 1 x 1 + ⋯ + 1 x n ≤ x 1 + ⋯ + x n n . La fonction f: x ↦ 1 x est convexe sur ℝ + * donc
f ( x 1 + ⋯ + x n n) ≤ f ( x 1) + ⋯ + f ( x n) n
d'où
n x 1 + ⋯ + x n ≤ 1 x 1 + ⋯ + 1 x n n
puis l'inégalité voulue. Exercice 5 3172
Soient a, b ∈ ℝ + et t ∈ [ 0; 1]. Inégalité de convexity . Montrer
a t b 1 - t ≤ t a + ( 1 - t) b . Soient p, q > 0 tels que
Montrer que pour tous a, b > 0 on a
a p p + b q q ≥ a b . La fonction x ↦ ln ( x) est concave. En appliquant l'inégalité de concavité entre a p et b q on obtient
ln ( 1 p a p + 1 q b q) ≥ 1 p ln ( a p) + 1 q ln ( b q)
(Inégalité de Hölder)
En exploitant la concavité de x ↦ ln ( x), établir que pour tout a, b ∈ ℝ +, on a
a p b q ≤ a p + b q .
Inégalité De Convexity
Exemple Soit la fonction définie sur par. La fonction est convexe, donc est concave. Les meilleurs professeurs de Maths disponibles 5 (80 avis) 1 er cours offert! 4, 9 (110 avis) 1 er cours offert! 4, 9 (85 avis) 1 er cours offert! 5 (128 avis) 1 er cours offert! 5 (118 avis) 1 er cours offert! 5 (80 avis) 1 er cours offert! 4, 9 (66 avis) 1 er cours offert! 4, 9 (95 avis) 1 er cours offert! 5 (80 avis) 1 er cours offert! 4, 9 (110 avis) 1 er cours offert! Inégalité de convexité sinus. 4, 9 (85 avis) 1 er cours offert! 5 (128 avis) 1 er cours offert! 5 (118 avis) 1 er cours offert! 5 (80 avis) 1 er cours offert! 4, 9 (66 avis) 1 er cours offert! 4, 9 (95 avis) 1 er cours offert! C'est parti 2) Prouver une inégalité avec convexité - exercice d'application Avant de voir la vidéo de correction ci-dessous, vous pouvez vous essayer à l'exercice d'application suivant: Soit la fonction définie sur par a) Étudier la convexité de la fonction. b) Déterminer l'équation de la tangente à la fonction en. c) En déduire que pour tout réel négatif, on a: Vidéo Kevin - Application: Vous pouvez également retrouver le pdf du superprof ici: PDF Prouver une inégalité avec convexité Pour retrouver ces vidéos, ainsi que de nombreuses autres ressources écrites de qualité, vous pouvez télécharger l'application Studeo (ici leur website) pour iOS par ici ou Android par là!
Inégalité De Convexité Sinus
Développement choisi: (par le jury)
Projection sur un convexe fermé
Autre(s) développement(s) proposé(s):
Pas de réponse fournie. Liste des références utilisées pour le plan:
Résumé de l'échange avec le jury (questions/réponses/remarques):
- Dessinez ce que représente la caractérisation du projeté avec le produit scalaire dans le plan. - Vous dites que Ker(f) est fermé car f est une forme linéaire continue. Que se passe-t-il si f n'est pas supposée continue? (il est dense dans H)
- On travaille dans un espace vectoriel E quelconque, et on prends F de dimension finie. On prends F sev fermé. Le théorème s'applique-t-il toujours? Définition d'une fonction convexe par une inégalité - Annales Corrigées | Annabac. A-t-on toujours E = F (+) F^orthogonal? (Le théorème ne s'applique pas puisque nous ne sommes pas dans un espace de Hilbert, mais le théorème reste vrai en prenant par exemple une base orthogonale de F et en caractérisant le projeté à l'aide du produit scalaire). - On admet l'inégalité, pour a et b réels, (|a|^4 + |b|^4)/2 - |(a+b)/2|^4 |>= |a-b|^4 / 16 (se démontre à la main avec le binôme).
Inégalité De Convexité Démonstration
\ln b}$. Enoncé Montrer que, pour tout $x\in[0, \pi/2]$, on a
$$\frac{2}\pi x\leq \sin x\leq x. $$
Enoncé Soit $n\geq 2$. Étudier la convexité de la fonction $f$ définie sur $[-1;+\infty[$ par $f(x)=(1+x)^n$. En déduire que, pour tout $x\geq -1$, $(1+x)^n\geq 1+nx$. Enoncé Soient $a_1, \dots, a_n$ des réels strictement positifs. Prouver l'inégalité suivante:
$$\sqrt[n]{a_1\dots a_n}\leq\frac{a_1+\dots+a_n}{n}. $$
Enoncé Soit $f$ une fonction convexe de classe $C^1$ sur $[a, b]$. Montrer que
$$(b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right)\leq \int_a^b f(t)dt\leq (b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}. $$
Enoncé Soit $f:[a, b]\to\mathbb R$ de classe $C^2$ telle que $f(a)=f(b)=0$. On note $M=\sup_{[a, b]}|f''|$
et
$$g(x)=f(x)-M\frac{(x-a)(b-x)}{2}\textrm{}\quad\quad h(x)=f(x)+M\frac{(x-a)(b-x)}{2}. $$
Justifier l'existence de $M$. Fonctions convexes/Applications de l'inégalité de Jensen — Wikiversité. Montrer que $g$ est convexe et que $h$ est concave. En déduire que, pour tout $x\in[a, b]$, on a
$$|f(x)|\leq M\frac{(x-a)(b-x)}{2}. $$
Démontrer que la fonction $f:x\mapsto \ln(1+e^x)$ est convexe sur $\mathbb R$.
Inégalité De Convexité Généralisée
Bonjour,
Pourriez vous m'aider à résoudre le problème suivant. Je cherche à prouver que $\tan(x)$ est convexe sur ${\displaystyle \left[0, {{\pi}\over{2}}\right[}$ avec l'inégalité:
${\displaystyle f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq {\frac {f(a)+f(b)}{2}}. } $
Je précise que je sais qu'on peut utiliser le signe de la dérivée seconde de $\tan(x)$; d'ailleurs, c'est assez facile de prouver la convexité de $\tan(x)$ avec ça; mais il faut impérativement utiliser l'inégalité entre les valeurs moyennes ci-dessus. Pour l'instant, j'ai choisi de poser ${\displaystyle u = \tan\left(\frac{a}{2}\right)}$ et ${\displaystyle v = \tan\left(\frac{b}{2}\right)}$. Inégalité de connexite.fr. Dans ce cas, j'obtiens avec les identités trignométriques:
${\displaystyle \frac{u+v}{1-uv} \leq \frac{u}{1-u^2} + \frac{v}{1-v^2}}$ avec $u, v \in [0, 1[$. Là, on remarque que pour $u = v$, il y a égalité; donc quitte à permuter $u$ et $v$, on peut supposer que $u < v$. En partant de $u < v$, j'obtiens après différentes opérations:
${\displaystyle \frac{u}{1-u^2} \leq \frac{u}{1-uv} \leq \frac{v}{1-uv} \leq \frac{v}{1-v^2}.
Inégalité De Connexite.Fr
Fonctions dérivables
Caractérisation des fonctions convexes
Soit \(f\) une fonction définie et dérivable sur un intervalle \(I\). On note \(\mathcal{C}_f\) la courbe représentative de \(f\) dans un repère \((O;\vec i;\vec j)\). \(f\) est convexe sur \(I\) si la courbe \(\mathcal{C}_f\) se trouve au-dessus de toutes ses tangentes aux points d'abscisses \(x\in I\). \(f\) est concave sur \(I\) si la courbe \(\mathcal{C}_f\) se trouve en-dessous de toutes ses tangentes aux points d'abscisses \(x\in I\). Exemple: Montrons que la fonction \(x\mapsto x^2\) est convexe sur \(\mathbb{R}\). Notons \(\mathcal{C}_f\) la courbe de \(f\) dans un repère \((O, \vec i, \vec j)\). Soit \(a\) un réel. \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f'(x)=2x\). Convexité - Mathoutils. La tangente à \(\mathcal{C}_f\) a pour équation \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\), c'est-à-dire \(y=2ax-2a^2+a^2\) ou encore \(y=2ax-a^2\). Pour tout réel \(x\),
\[f(x)-(2ax-a^2)=x^2-2ax+a^2=(x-a)^2 \geqslant 0\]
Ainsi, pour tout réel \(x\), \(\mathcal{C}_f\) est au-dessus de sa tangente à l'abscisse \(a\), et ce, peu importe le réel \(a\) choisi.
\(g'\) est donc croissante sur \(I\). Or, \(g'(a)=0\). Soit \(x\in I\) tel que \(xa\)
Par croissance de \(g'\) sur \(I\), on a alors \(g'(x) \geqslant g'(a)\) c'est-à-dire \(g'(x) \geqslant 0\). \(g\) est donc croissante sur \([a;+\infty[ \cap I\). Finalement, pour tout \(x\in I\), \(g(x)\geqslant 0\), ce qui signifie que le courbe de \(f\) est au-dessus de la tangente à cette courbe au point d'abscisse \(a\). Exemple: Pour tout entier naturel pair \(n\), la fonction \(x \mapsto x^n\) est convexe sur \(\mathbb{R}\). Exemple: La fonction \(f:x\mapsto x^3\) est concave sur \(]-\infty; 0]\) et convexe sur \([0;+\infty[\). En effet, \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) et pour tout réel \(x\), \(f^{\prime\prime}(x)=6x\), qui est positif si et seulement si \(x\) l'est aussi.
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