La fonction dérivée est strictement positive sur ℝ donc, la fonction exponentielle est strictement croissante sur tout ℝ.
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Fonction exponentielle: Cours, résumé et exercices corrigés
I- Théorème 1
Soit f une fonction dérivable sur R telle que
f′ = f et f(0) = 1. Alors, pour tout réel x, f(x) × f(−x) = 1. En particulier, la fonction f ne s'annule pas sur R
Démonstration. Soit f une fonction dérivable sur R telle que f′ = f et f(0) = 1. Soit g la fonction définie sur R par: pour tout réel x, g(x) = f(x) × f(−x). La fonction g est dérivable sur R en tant que produit de fonctions dérivables sur R et pour tout réel x,
g′(x) = f′(x) × f(−x) + f(x) × (−1) × f′(−x) = f′(x)f(−x) − f(x)f′(−x)
= f(x)f(−x) − f(x)f(−x) (car f′ = f)
= 0. Ainsi, la dérivée de la fonction g est nulle. Exercice corrigé fonction exponentielle bac pro sen. On sait alors que la fonction g est une fonction constante sur R.
Par suite, pour tout réel x, g(x) = g(0) = (f(0)) 2 = 1. On a montré que pour tout réel x, f(x)×f(−x) = 1. En particulier, pour tout réel x, f(x)×f(−x) ≠ 0 puis f(x) ≠ 0. Ainsi, une fonction f telle que f′ = f et f(0) = 1 ne s'annule pas sur R.
II- Théorème 2
Soient f et g deux fonctions dérivables sur R telles que f′ = f, g′ = g, f(0) = 1 et g(0) = 1.
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Cours de fonction exponentielle avec des exemples ( exercices) corrigés pour le terminale.
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C'est ce que nous faisons dans cette partie, quand bien même une grande partie des professeurs passent rapidement, voir ignorent cette exigence du programme certes nébuleuse. Cours de mathématiques et exercices corrigés fonction exponentielle première – Cours Galilée. Problème
Nous concluons cette feuille d'exercice avec l'habituelle sélection de problèmes. Pour trouver des exercices ayant été donnés aux contrôles par des professeurs de Toulouse, rendez-vous sur notre page regroupant les contrôles. Besoin des contrôles dans un chapitre ou un lycée particulier?
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On peut résumer ces différents résultats dans un tableau de variations suivant:
Représentation graphique de la fonction_exponentielle:
4- Dérivée de la fonction exponentielle x ↦ exp(u(x))
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Soit f la fonction définie sur I par:
Pour tout réel x de I, f(x) = exp(u(x)). La fonction f est dérivable sur I et pour tout réel x de I, f′(x) = u′(x)exp (u(x)). Soit f la fonction définie sur R par: Pour tout réel x, f(x) = xexp(−x 2). Déterminer la dérivée de f. Exercice corrigé fonction exponentielle bac pro anglais. Solution:
Pour tout réel x, posons u(x) = −x 2 puis g(x) = exp(−x 2) = exp(u(x)). La fonction u est dérivable sur R. Donc, la fonction g est dérivable sur R et pour tout réel x,
g′(x) = u′(x)exp(u(x)) = −2xexp(−x 2). On en déduit que f est dérivable sur R en tant que produit de fonctions dérivables sur R et pour tout réel x,
f′(x) = 1 × exp(−x 2) + x × (−2xexp(−x 2)) = exp(−x 2) − 2x 2 exp(−x 2) = (1 − 2x 2)exp(−x 2)
5- Primitives de la fonction exponentielle
1- Les primitives sur R de la fonction x ↦ exp(x) sont les fonctions de la forme x ↦ exp(x) + k où k est un réel.
Or, la dérivée de la fonction exponentielle est égale… à elle-même! Nous devons donc être capable de résoudre ces équations. Nous verrons plus tard, et particulièrement les élèves prenant la spécialité maths en terminale, que ces résolutions d'équations se font extrêmement rapidement en utilisant… la fonction logarithme! Étude des variations de la fonction exponentielle
Dans cette partie du cours de mathématiques, nous mettons à profit les notions que nous avons vues précédemment dans le chapitre " étude de fonctions ", en les appliquant à la fonction exponentielle. Fonction exponentielle - Cours, résumés et exercices corrigés - F2School. Ces exercices seront prétexte à utiliser les formules de dérivation simples et composées, que nous aurons vu en cours, et de répéter encore une fois toutes les étapes de l'étude d'une fonction, de sa dérivée, en passant par le tableau de variation, et jusqu'à l'étude de position relative des courbes. Faire le lien avec les suites géométriques
Dans le Bulletin officiel, il est fait mention de la nécessité de "faire le lien entre la fonction exponentielle, et le lien qu'elle a avec les suites à croissances géométriques".
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