Loi à densité sur un intervalle – Terminale – Exercices à imprimer
Exercices corrigés pour la terminale S – TleS Loi à densité sur un intervalle Exercice 01: Trouver la loi à densité Soit m un nombre réel et f la fonction définie sur [0; π] par: Déterminer le réel m pour que f soit une densité de probabilité sur [0; π]. Soit X une variable aléatoire suivant la loi de probabilité de densité f sur [0; π]. Calculer la probabilité Exercice 02: Loi à densité…
Loi à densité sur un intervalle – Terminale – Cours
Tle S – Cours sur la loi à densité sur un intervalle – Terminale S Variable aléatoire continue On considère une expérience aléatoire. Si X est une variable aléatoire discrète prenant un nombre fini de valeurs, sa loi de probabilité est une fonction qui associe à toute valeur de k prise par X sa probabilité P(X = k). Dans ce cours, on s'intéresse à des variables aléatoires X qui prennent leurs valeurs dans un intervalle; on dit qu'elles sont…
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Toutes les variables aléatoires n'admettent pas une variance. Propriétés
On monte que:
Soient des variables aléatoires qui admettent une variance. Alors admet également une variance, et nous avons:
Si les sont indépendantes:
2. Lois de probabilités à densité sur un intervalle
Définitions et propriétés
Définition: densité de probabilité
On dit qu'une fonction f, définie sur un intervalle de, est une densité de probabilité sur lorsque:
la fonction est continue sur;
la fonction est à valeurs positives sur;
l'aire sous la courbe de est égale à unités d'aire. Définition: variable aléatoire à densité
Soit une fonction définie sur, qui est une densité de probabilité sur. On dit que la variable aléatoire suit la loi de densité sur l'intervalle (ou est « à densité sur «) lorsque, pour tout intervalle inclus dans, la probabilité de l'événement est la mesure, en unités d'aire, de l'aire du domaine:. Soit une variable aléatoire qui suit la loi de densité sur l'intervalle. On a les propriétés suivantes:
Si et sont deux unions finies d'intervalles inclus dans, on a:
Pour tout intervalle de, on a:
Pour tout réel de, on a:.
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$P(X>1)=\dfrac{(1, 5+1)\times 0, 5}{2}=0, 625$
La fonction de densité n'est définie que sur l'intervalle $[0;2, 5]$. Par conséquent $P(X\pg 2, 5)=0$. [collapse]
Exercice 2
$X$ suit une loi de probabilité à densité sur l'intervalle $[3;7]$. On a $P(X<4)=0, 1$ et $P(X>6)=0, 3$. Calculer:
$P(44)$
$P(X<1)$
$P(X\pg 3)$
$P(X=3)$
Correction Exercice 2
$P(46)\right)=1-(0, 1+0, 3)=0, 6$
$P(X<6)=P(X\pp 0, 6)=1-P(X>0, 6)=1-0, 3=0, 7$
$P(X>4)=P(X\pg 4)=1-P(X<4)=1-0, 1=0, 9$
$X$ suit une loi de probabilité à densité sur l'intervalle $[3;7]$ et $1<3$. Donc $P(X<1)=0$. $X$ suit une loi de probabilité à densité sur l'intervalle $[3;7]$. Donc $P(X\pg 3)=1$. Ainsi $P(X=3)=0$
Exercice 3
Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[0;1]$ telle que $f(x)=-x^2+\dfrac{8}{3}x$. Montrer que $f$ est une fonction densité de probabilité sur l'intervalle $[0;1]$. $X$ est la variable aléatoire qui suit la loi de probabilité continue de densité $f$. a. Calculer $P(X\pp 0, 5)$.
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I La densité de probabilité On considère une expérience aléatoire et un univers associé \Omega, muni d'une probabilité P. Variable aléatoire continue Une variable aléatoire continue est une fonction X qui à chaque événement élémentaire de \Omega associe un nombre réel d'un intervalle I de \mathbb{R}. Loi de probabilité continue et densité de probabilité Soit f une fonction continue et positive ou nulle sur un intervalle I de \mathbb{R} telle que \int_{I}f\left(x\right) \ \mathrm dx = 1. Soit X une variable aléatoire continue sur \Omega. On dit que f est une densité de probabilité de X si, pour tout intervalle J inclus dans I: p\left(X\in J\right) =\int_{J}^{}f\left(x\right) \ \mathrm dx Considérons la fonction f définie sur \left[0;2\right] par f\left(x\right)=\dfrac{x}{2}:
f est continue sur \left[0;2\right]. f est positive sur \left[0;2\right]. Une primitive de f sur \left[0;2\right] est la fonction F définie sur \left[0;2\right] par F\left(x\right)=\dfrac{x^2}{4}. Donc \int_{0}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx=F\left(2\right)-F\left(0\right)=\dfrac44-0=1.
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b. Calculer $P(0, 21$. Le coefficient principal de ce polynôme est $a=-1<0$. Ainsi $f(x)$ est positif entre ses racines et $f(x)\pg 0$ sur l'intervalle $[0;1]$. $\begin{align*}\int_0^1 f(x)\dx&=\int_0^1\left(-x^2+\dfrac{8}{3}x\right)\dx\\
&=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{8}{6}x^2\right]_0^1\\
&=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{8}{6}\\
&=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{3}\\
&=\dfrac{3}{3}\\
&=1\end{align*}$
La fonction $f$ est donc une fonction densité de probabilité sur $[0;1]$. a. On a:
$\begin{align*} P(X\pp 0, 5)&=\int_0^{0, 5}f(x)\dx \\
&=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{8}{6}x^2\right]_0^{0, 5}\\
&=-\dfrac{0, 5^3}{3}+\dfrac{4}{3}\times 0, 5^2\\
&=\dfrac{7}{24}\end{align*}$
b. On a:
$\begin{align*}P(0, 2
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Exemple: P (X ≥ 5) (X ≥ 20) = P(X ≥ 15): la probabilité que X soit supérieur à 20 sachant qu'il est déjà supérieur à 5, c'est la probabilité qu'ils soit plus grand que 15. Pour une machine à laver par exemple, qu'elle ait 5 ans ou qu'elle soit neuve, elle aura la même probabilité de tomber en panne d'ici 15 ans (si on suppose que sa durée de vie suit une loi exponentielle). On demande assez souvent de démontrer ce résultat, voici donc la démonstration (à savoir refaire du coup!! ):
(on applique la formule de la probabilité conditionnelle)
Or X ≥ t ∩ X ≥ t+h = X ≥ t+h (car [t;+∞[ ∩ [t+h;+∞[ = [t+h;+∞[) donc
d'après la formule vue un peu plus haut
Et voilà! A savoir refaire évidemment…
Avec ces exercices sur la loi exponentielle, ça ne devrait pas te poser de problèmes^^
Surtout que ce sont des exercices d'annales de bac!! La loi normale est un peu plus compliquée que les précédentes, ce pourquoi on va très souvent se ramener à ce que l'on appelle une loi normale centrée réduite. Qu'est-ce-que c'est que ce charabia?
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Fiche technique
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En savoir plus Réparation du support: 1. Éliminer la salissure et la graisse de la surface, puis enlever la rouille. 2. Traiter la rouille poreuse éventuellement présente avec l' antirouille Presto. 3. Mastiquer les surfaces non planes et les poncer. Si aucun masticage n'est nécessaire, appliquer la sous-couche coloris blanc MoTip. 4. Après le séchage de la sous-couche, poncer l'objet à peindre avec du papier verre de grain 600. RAL 5026 : Couleur RAL 5026 Bleu nuit nacré - Peinturevoiture.fr. Application de la peinture Bleue métallisée: 1. Bien secouer la bombe pendant 2 minutes avant utilisation. La distance doit être de 25 à 30 cm environ. Puis, appliquer la peinture métallisée en plusieurs couches fines à intervalles de 3 à 5 minutes sur la surface retouchée sèche. Pendant la mise en peinture, secouer la bombe énergiquement de temps en temps pour permettre une répartition uniforme des pigments. 5. La surface peinte doit impérativement être protégée avec du vernis en bombe incolore après un temps de séchage de 30 minutes minimum. Cette étape est nécessaire pour éviter que les particules d'aluminium de la peinture métallique ne soient attaquées par les influences environnementales ou météorologiques.