Vous aviez dit qu'il y avait un lien entre les fonctions logarithme et exponentielle. Je n'en vois pas? Il existe une propriété qui lie les fonctions exponentielle et logarithme. En effet, se sont deux fonctions réciproques. Cela veut dire que si l'on compose un nombre par la fonction logarithme puis par la fonction exponentielle (ou inversement), on ne change rien au nombre de départ:
e ln x = x = ln (e x)
De plus, les courbes représentatives de ces deux fonctions sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x comme vous le verrez dans peu de temps. Un dernier théorème avant de voir les propriétés de cette fonction extraordinaire. Théorème de la fonction exponentielle
Soit k ∈. Il existe une unique fonction f dérivable et strictement positive sur telle que f' = kf et f(0) = 1. Cette fonction est e kx. 2 - Propriétés de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle vérifie: f(x + y) = f(x) × f(y)
Soit: e a + b = e a × e b
C'est la propriété fondamentale de cette fonction.
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La fonction exponentielle est strictement croissante sur. Donc, pour tous réels et:
Propriétés algébriques
Pour tous réels, et tout entier:
2. Limites et dérivée de la fonction exponentielle
Limites:
On dit que la fonction exponentielle domine les fonctions polynomiales
Dérivée de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle est dérivable (donc continue) sur, et pour tout réel:
L'approximation affine au voisinage de de la fonction exponentielle est. On écrira:
Si est une fonction dérivable sur un intervalle, alors la fonction est dérivable sur et, pour tout de:
Tableau de variations et courbe
La tangente au point d'abscisse a pour équation:. La tangente au point d'abscisse a pour équation: (elle passe par l'origine). Résolution d'équations
Equation:
Pour tout réel strictement positif, l'équation, d'inconnue, admet une unique solution dans. Exercices sur la fonction exponentielle
Exercice 1:
Soit la fonction définie sur par:
On désigne par sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé.
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Théorème (dérivée de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle est égale à sa dérivée.
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Nous vous invitons à choisir un autre créneau.
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Propriétés
Règles de calcul des puissances
Voici les propriétés sur les puissances, a et b non nuls et m et n entiers:
Rien à ajouter. Vous connaissez. 3 - II - Etude de la fonction avec a > 0
Soit f(x) = a α = e α ln a.
f est définie et dérivable sur comme composition de fonction dérivables. Calculons sa dérivée:
f '(x) = (ln a)e x ln a = a x ln a
A présent, nous allons distinguer deux cas: a < 1 et a > 1. Cas a < 1:
La dérivée a α = e α ln a < 0. Calcul des limites:
Son tableau de variations:
Représentons la fonction pour deux valeurs de a choisie:. Cas a > 1:
La dérivée a α = e α ln a > 0. 4 - Croissance comparée
Nous pouvons maintenant présenter la fonciton exponentielle.
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Dans le repère orthonormé ci-dessus, le point M est le point de C ln d'abscisse y. Ses coordonnées sont donc M ( y; ln( y)). Son symétrique par rapport à ∆: y = x est le point N de coordonnées N (ln( y); y). On a donc
y N = exp( x N) car exp( x N) = exp(ln( y)) = y d'après la propriété 7. Donc N ∈ C exp.
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Saint-Malo est une ville très ancrée dans la région Bretagne. Un des plus beaux témoignages en est d'ailleurs les magnifiques malouinières que l'on trouve un peu partout aux alentours de Saint-Malo.
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Si la mer est la pépite de Saint-Malo, son aquarium représente un véritable hommage à cette richesse aquatique. L'aquarium de Saint-Malo propose un panorama de toutes les créatures aquatiques de la Mer. Plus de 600 espèces de poissons, de tortues ou encore de poissons clown et d'autres mammifères y sont présents. Que faire le soir a saint malo al. Le grand Aquarium de Saint-Malo est ouvert toute l'année et constitue un havre idéal pendant les jours de pluies. Parmi les attractions les plus incroyables figurent le Nautibus. C'est un sous marin exclusif qui vous emmènera découvrir le fond de l'Aquarium et ses spectacles de sons et lumières. Se divertir au West Parc
West Parc est l'une des attractions indoor les plus populaires de la région. Il se trouve à quelques quinzaine de minutes du centre-ville mais il en vaut pleinement le détour.
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J'ai bien aimé la cité fortifiée de Saint-Malo, sa grande plage et ses thermes, même si la météo a été capricieuse lors de notre étape de quelques jours dans la ville. Entre la pluie et le vent, autant vous dire que je n'ai même pas trempé un orteil dans la mer ou dans la piscine d'eau de de mer! Que faire le soir a saint malo location. J'aimerais beaucoup revenir en Bretagne, voir les grandes marées au Mont-Saint-Michel et à Saint-Malo. Peut-être que nous pourrions tenter l'échange de maisons, j'y pense depuis quelques temps…
J'espère que ce petit aperçu de Saint-Malo vous aura donné envie de découvrir la cité corsaire. RDV pour la suite de notre périple, avec les rochers sculptés de Rotheneuf, Dinard, Saint-Lunaire et Saint-Suliac.
Raphaël LAURENT. Ouest-France
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