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Vidéo 1: La fonction exponentielle. D. S. sur la fonction Exponentielle
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Les Fonction Exponentielle Terminale Es 9
Détails
Mis à jour: 9 décembre 2019
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Le chapitre traite des thèmes suivants: fonction exponentielle
Un peu d'histoire
La naissance de la fonction exponentielle se produit à la fin du XVIIe siècle. L'idée de combler les trous entre plusieurs puissances d'un même nombre est très ancienne. La fonction exponentielle - Chapitre Mathématiques TES - Kartable. Ainsi trouve-t-on dans les mathématiques babyloniennes un problème d'intérêts composés où il est question du temps pour doubler un capital placé à 20%. Puis le mathématicien français Nicolas Oresme (1320-1382) dans son De proportionibus (vers 1360) introduit des puissances fractionnaires. Nicolas Chuquet, dans son Triparty (1484), cherche des valeurs intermédiaires dans des suites géométriques en utilisant des racines carrées et des racines cubiques et Michael Stifel, dans son Arithmetica integra (1544) met en place les règles algébriques sur les exposants entiers, négatifs et même fractionnaires. Il faut attendre 1694 et le mathématicien français Jean Bernouilli (1667-1748) pour une introduction des fonctions exponentielles, cela dans une correspondance avec le mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
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7. 1 La fonction exponentielle
Définition
On a vu dans le chapitre précédent que l'équation ln( x) = m admet une unique solution pour tout m ∈ R et cette solution est un réel strictement positif. Autrement dit, pour tout x ∈ R, il existe un unique y > 0 tel que x = ln( y). Définition 7. 1
La fonction exponentielle est la fonction définie sur R qui, à chaque réel x associe le réel strictement positif y vérifiant x = ln( y). La fonction exponentielle est notée exp. Exemple 7. 1
– On a ln(1) = 0 donc exp(0) = 1. – On a ln(e) = 1 donc exp(1) = e, où e est le réel défini au chapitre 6 comme étant l'antécédent
de 1 par la fonction ln. e valant environ 2, 718
Remarque 7. La fonction exponentielle - Cours, exercices et vidéos maths. 1
On a vu que pour n ∈ Z, ln(e n) = n × ln(e) = n. Donc en utilisant la définition de la fonction
exponentielle, on a: pour tout n ∈ Z, exp( n) = e n. Par convention, on généralise cette notation
à tous les nombres: pour x ∈ R on note e x l'image de x par la fonction exponentielle. Pour x ∈ R, on a: e x = exp( x)
7. 1. 2 Premières propriétés
Propriété 7.
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De plus, les résultats du théorème précédent et du corollaire produisent des formules conformes à l'utilisation de la notation puissance. III. Propriétés asymptotiques. lim x → + ∞ e x = + ∞ \lim_{x\to +\infty} e^x=+\infty
lim x → − ∞ e x = 0 \lim_{x\to -\infty} e^x=0
lim x → + ∞ e x x = + ∞ \lim_{x\to +\infty} \frac{e^x}{x}=+\infty
Interprétations géométriques:
La courbe C exp \mathcal C_{\exp} admet en − ∞ -\infty l'axe ( O x) (Ox) comme asymptote. Elle admet en + ∞ +\infty une branche parabolique de direction ( O y) (Oy)
IV. Courbe représentative. Les fonction exponentielle terminale es 9. Grâce aux propriétés précédentes, on peut tracer la courbe représentative C exp \mathcal C_{\exp} de la fonction exponentielle. Toutes nos vidéos sur la fonction exponentielle
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Propriétés
Règles de calcul des puissances
Voici les propriétés sur les puissances, a et b non nuls et m et n entiers:
Rien à ajouter. Vous connaissez. 3 - II - Etude de la fonction avec a > 0
Soit f(x) = a α = e α ln a.
f est définie et dérivable sur comme composition de fonction dérivables. Calculons sa dérivée:
f '(x) = (ln a)e x ln a = a x ln a
A présent, nous allons distinguer deux cas: a < 1 et a > 1. Cas a < 1:
La dérivée a α = e α ln a < 0. Calcul des limites:
Son tableau de variations:
Représentons la fonction pour deux valeurs de a choisie:. Les fonction exponentielle terminale es les fonctionnaires aussi. Cas a > 1:
La dérivée a α = e α ln a > 0. 4 - Croissance comparée
Nous pouvons maintenant présenter la fonciton exponentielle.
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