La plupart des artistes, quel que soit leur domaine, utilisent la notion de proportion du nombre d'or qui lie leurs œuvres, musicales, artistiques, architecturales, photographiques, avec le rapport géométrique. Mathématiques: la fascinante suite de Fibonacci Bien connu des Grecs anciens, le nombre d'or apparaît sur le Panthéon. Le fronton est en effet inscrit dans un rectangle dont les dimensions des côtés adjacents ont le nombre d'or comme rapport. On retrouve également ces constantes dans des œuvres très célèbres, notamment celles de Léonard de Vinci, comme La Joconde et l' Homme de Vitruve; dans le tableau Parade de cirque de Georges Seurat, qui a employé les premiers termes de la suite dans sa composition: un personnage central, deux personnages à droite, trois musiciens, cinq banderoles ou cinq spectateurs en bas à gauche, huit à droite. En poésie également, un fib est un petit poème, similaire à un haïku, dont le nombre de pieds des premiers vers correspond aux premiers nombres de la suite 1, 1, 2, 3, 5, 8.
Suite De Fibonacci Et Nombre D Or Exercice Corrigé Etaugmenté De Plusieurs
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Nombre d'or
La relation de récurrence linéaire u(n)=u(n-1)+u(n-2) a pour équation
caractéristique x 2 =x+1 ou encore x 2 - x - 1 = 0 de
discriminant Delta = 5 et de racines
a=(1-5 ½)/2 et b=(1+ 5 ½)/2 (b est le nombre d'or)
On a donc une formule explicite directe u(n) = A a n + B b n
où A et B dépendent de u(0) et de u(1). La suite de Fibonacci vérifie F(n) = (b n - a n) / 5 ½
a=-0, 618033988749894848... et b=1, 618033988749894848...
Comme |a| = 0, 618... < 1, pour n suffisamment grand, F(n) est très proche
de b n / 5 ½
Exemple: F(10) = 55 et b 10 / 5 ½ = 55. 0036361
La suite de Fibonacci est proche d'une suite géométrique de raison b et
pour n suffisamment grand, F(n+1) est proche de b F(n)
Exemple: F(10) = 55, F(11) = 89 et b × F(10)=88. 9918693
Développement en fraction continue du nombre d'or
On sait que b= (1+ 5 ½)/2 vérifie b 2 = b+1 donc
b = 1 + 1/b = 1+1/(1+1/b) = 1+1/(1+1/(1+1/b)) =... Le nombre d'or est approché par les quotients successifs
F(n+1)
F(n):
1
2
3
5
8
13
8...
D'ailleurs, en divisant par F(n+1) la relation F(n+2) = F(n+1) + F(n), on obtient
F(n+2) / F(n+1) = 1 + F(n) / F(n+1) ou encore
ce qui permet de montrer que l'on a bien les réduites successives du nombre d'or.
Suite De Fibonacci Et Nombre D Or Exercice Corrigé Pdf
C'est là que j'ai une idée: pourquoi ne pas considérer une combinaison linéaire de ces deux suites? Allez! Je me lance! Je pose pour tout entier naturel n:$$u_n=\alpha q_1^n + \beta q_2^n. $$Il est assez facile de constater que:$$\begin{align}u_{n+2}-u_{n+1}-u_n & = \alpha q_1^n(q_1^2-q_1-1) + \beta q_2^n(q_2^2-q_2-1)\\& = 0\end{align}$$car \( q_1^2-q_1-1 = 0\) et \( q_2^2-q_2-1 = 0\). Ainsi, la suite de Fibonacci fait partie des suites \((u_n)\). Il ne reste plus qu'à trouver les valeurs de \(\alpha\) et \(\beta\). Pour cela, on va considérer que:$$\begin{cases}F_0 = \alpha + \beta & = 1\\F_1=\alpha q_1 + \beta q_2 & = 1\end{cases}$$On arrive alors à:$$\alpha=\frac{5-\sqrt5}{10}\text{ et}\beta=\frac{5+\sqrt5}{10}. $$Ainsi, la suite de Fibonacci peut s'exprimer de la manière suivante:$$F_n=\left( \frac{5-\sqrt5}{10} \right)\left( \frac{1-\sqrt5}{2} \right)^n + \left( \frac{5+\sqrt5}{10} \right)\left( \frac{1+\sqrt5}{2} \right)^n. $$
Le nombre \(\displaystyle\frac{1+\sqrt5}{2}\) qui apparaît dans la formule est appelé le nombre d'or; on le note souvent \(\varphi\) ou \(\phi\) ("phi").
La suite de Fibonacci est la suite définie par ses deux premiers termes \(F_0=F_1=1\) et par la relation de récurrence suivante:$$\forall n\in\mathbb{N}, \ F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}. $$ Nous allons nous pencher sur cette suite afin de déterminer une expression de son terme général en fonction de son rang. Leonardo Bonacci, dit Fibonacci
La première chose que j'ai envie d'écrire, c'est:$$\forall n\in\mathbb{N}, \ F_{n+2}-F_{n+1}-F_n=0. $$Ensuite, je me dis que ça serait cool si cette suite était géométrique… Bon, elle ne l'est pas, mais j'ai envie de voir un truc… Supposons alors que \(F_n=q^n\), où \(q \neq 0\). Alors, la relation précédente devient:$$q^{n+2}-q^{n+1}-q^n=0$$ soit:$$q^n(q^2-q-1)=0. $$Comme \(q\) n'est pas nul, cela signifie que \(q^2-q-1=0\), c'est-à-dire, après calcul du discriminant, je trouve deux valeurs possibles pour \(q\):$$q_1=\frac{1-\sqrt5}{2}\text{ ou}q_2=\frac{1+\sqrt5}{2}. $$Mais bon… je ne suis pas si stupide que ça: je vois bien que ni \((q_1^n)\) ni \((q_2^2)\) ne convient car les deuxièmes termes de ces deux suites ne coïncident pas avec le deuxième terme de la suite de Fibonacci.
On ne fait pas auteur plus romantique que Musset. Poète, débauché, séducteur, alcoolique, dandy, sentimental, il fait une entrée très remarquée dans le milieu poétique avec son premie... [+]
Le rideau de ma voisine Se soulève lentement. Elle va, je l'imagine, Prendre l'air un moment. On entr'ouvre la fenêtre: Je sens mon coeur palpiter. Elle veut savoir peut-être Si je suis à guetter. Mais, hélas! ce n'est qu'un rêve; Ma voisine aime un lourdaud, Et c'est le vent qui soulève Le coin de son rideau
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Les "Romantiques" se prêtent plus facilement, je pense, à ces petits jeux que les poète surréalistes dont les textes plus "obscurs" et tarabiscotés, constituent une difficulté supplémentaire. Tout dépend aussi de la sensibilité du poète qui va se livrer à ces procédés de réécriture. Je pense également qu'il doit être assez ardu de faire un poème de condensation ou de dilatation sur les Fables, car il y a toute une représentation scénique qu'il est compliqué de respecter en "élargissant" ou en "rétrécissant" les vers. Je me sens très honoré par tes mots de grande sympathie et par cette considération que tu me témoignes. Je t'en remercie CHALEUREUSEMENT. Superbe week-end à toi. ET DE GROS _________________ La poésie se nourrit aux sources de la prose et s'embellit au concerto des mots. (Dilatation sur des vers de Musset) Ven 24 Avr - 19:36 Flamme a écrit: Tous les petits détails, grâce à la dilatation, donne encore plus de suspens au poè d'habitude je préfère les vers en alexandrins, donc les tiens!
Comme j'aime bien une écriture assez dépouillée restant attachante par la limpidité du sujet, ce fut un bon moment de détente, même si, évidemment, on se sent plus à l'aise quand il s'agit de commettre sa propre poésie, puisqu'il n'y a aucune contrainte de sujet ni d'écriture. J'avoue que lorsqu'on a goûté au côté ludique de la distension, et même si on ne peut pas considérer l'exercice comme une œuvre personnelle, le résultat reste jubilatoire. UN GRAND MERCI, comme toujours, pour tes impressions qui flirtent agréablement avec cette touche d'humour qui te caractérise, TONIN. Passe une très bonne soirée et un excellent week-end. CARPE DIEM _________________ La poésie se nourrit aux sources de la prose et s'embellit au concerto des mots. (Dilatation sur des vers de Musset) Ven 24 Avr - 19:25 CLARI a écrit: Bonjour cher André, Je ne connaissais pas ce poème de Musset. Toujours de l'excellence au sommet de ton art! Un grand bravo! Bonsoir Chère CLARI, Connaissant ta propension pour l'humour, et sachant que tu portes un vif intérêt aux différents procédés poétiques, je me doutais que tu viendrais lire cette "dilatation" sur MUSSET.