Fonction carré - Maths seconde - Les Bons Profs - YouTube
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Fonction CARRÉ - Résoudre une ÉQUATION - Exercice Corrigé - Seconde - YouTube
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Elles se résolvent facilement si l'on connaît l'allure de la parabole représentant la fonction carré (voir l'exemple 2). La maîtrise de ces équations et inéquations permet de résoudre les équations ou inéquation du type:
$(f(x))^2=k$ et $(f(x))^2$ ou $≥$ (où $k$ est un réel fixé et $f$ une fonction "simple") (voir l'exemple 3). Exemple 2
Résoudre l'équation $x^2=10$
Résoudre l'inéquation $x^2≤10$
Résoudre l'inéquation $x^2≥10$
Exemple 3
Résoudre l'équation $(2x+1)^2=9$
$(2x+1)^2=9$ $⇔$ $2x+1=√{9}$ ou $2x+1=-√{9}$
$⇔$ $2x=3-1$ ou $2x=-3-1$
$⇔$ $x={2}/{2}=1$ ou $x={-4}/{2}=-2$
S$=\{-2;1\}$
La méthode de résolution vue dans le cours sur les fonctions affines fonctionne également, mais elle est beaucoup plus longue. On obtiendrait: $(2x+1)^2=9$ $⇔$ $(2x+1)^2-9=0$ $⇔$ $(2x+1)^2-3^=0$
$⇔$ $(2x+1-3)(2x+1+3)=0$ $⇔$ $(2x-2)(2x+4)=0$
$⇔$ $2x-2=0$ ou $2x+4=0$ $⇔$ $x=1$ ou $x=-2$
On retrouverait évidemment les solutions trouvées avec la première méthode!
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A retenir
Quand un carré apparaît dans une équation ou une inéquation, il faut l'isoler si possible pour résoudre en utilisant la fonction carré. Sinon, il faut revenir à la méthode vue dans le cours sur les fonctions affines (qui nécessite souvent une factorisation).
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L'essentiel pour réussir! La fonction carré $f(x)=x^2$
Propriété 1
La fonction carré est définie sur $\ℝ$. Dans un repère orthogonal, elle est représentée par une parabole, dont le "sommet" est l'origine du repère. Cette parabole a pour axe de symétrie l'axe des ordonnées. En effet, pour tout nombre $x$, on a: $f(-x)=f(x)$. On dit que la fonction est paire. Tableau de valeurs et représentation graphique
Propriété 2
La fonction carré admet le tableau de variation suivant. Exemple 1
On suppose que $2< x< 3$ et $-5< t< -4$. Encadrer $x^2$ et $t^2$. Solution...
Corrigé
On a: $2< x< 3$
Donc: $2^2< x^2< 3^2$ ( car la fonction carré est strictement croissante sur [ $0$; $+\∞$ [)
Soit: $4< x^2< 9$
On a: $-5< t< -4$
Donc: $(-5)^2> t^2>(-4)^2$ ( car la fonction carré est strictement décroissante sur] $-\∞$; $0$])
Soit: $25> t^2> 16$
Réduire... Propriété 3
La fonction carré admet le tableau de signes suivant. On notera qu'un carré est toujours positif (ou nul). Equations et inéquations
Les équations et inéquations de référence concernant la fonction carré sont du type:
$x^2=k$, $x^2k$ et $x^2≥k$ (où $k$ est un réel fixé).
En posant et, nous obtenons:
Dérivée successives [ modifier | modifier le wikicode]
Comme nous le verrons plus loin, la fonction dérivée nous facilite l'étude de la fonction. Mais nous pouvons aussi être amenés à étudier la fonction dérivée elle-même. Et pour facilité cette étude, nous utiliserons la dérivée de la fonction dérivée. Nous donnerons donc la définition suivante:
Fonction dérivée seconde
Soit une fonction et soit sa fonction dérivée. On appelle dérivée seconde la fonction noté et définie par:
Autrement dit, la fonction dérivée seconde de la fonction est la dérivée de la dérivée de. Nous pouvons ainsi dériver successivement et autant de fois que nécessaire les dérivées successives d'une fonction:
est la dérivée de
Dérivée et continuité [ modifier | modifier le wikicode]
Nous avons le théorème suivant:
Théorème
Soit une fonction dont le domaine de dérivabilité est. Alors est continue sur
Démonstration
Supposons dérivable en un point. Cela implique que:
existe et est finie. Mais comme le dénominateur tend vers.
Sweet Follies
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C'est une même passion de la musique pratiquée à la Nouvelle Orléans à partir de 1910 qui unit les musiciens de la formation SWEET FOLLIES. Ayant tous joués dans des formations de renommée mondiales, ils redonnent vie à un beau répertoire des années 1925 à 1945. Louis Amstrong, King Oliver, Kid Ory ou Fats Waller, les plus connus ne sont jamais loin. Ainsi ressurgit une musique collective au souffle rythmé et puissant, des mélodies traditionnelles et populaires qui swinguent et qui nous transportent à l'origine du jazz jusqu'à la belle époque du swing. Le line up du SWEET FOLLIES: Alain Fouga (banjo). Alain Huguet (contrebasse), Christophe Deret (trombone), Clody Gratiot (batterie), Gérard Siffert (trompette), Jacques Silvert (clarinette, saxophone). Commanderie de Jalès, Berrias-et-Casteljau, France
Act'Jalès
C'est une même passion de la musique pratiquée à la Nouvelle Orléans à partir de 1910 qui unit les musiciens de la formation SWEET FOLLIES.
Commanderie De Jalès Pdf
Commanderie de Jalès
Présentation
Fondation
Templiers 1140
Reprise
Hospitaliers 1312
Protection
Inscrit MH ( 1981)
Géographie
Pays
France
Région
Auvergne-Rhône-Alpes
Département
Ardèche
Ville
Berrias-et-Casteljau
Coordonnées 44° 22′ 12″ nord, 4° 13′ 19″ est
Géolocalisation sur la carte: Ardèche
Géolocalisation sur la carte: France
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La commanderie de Jalès se situe dans la plaine de la Berrias, sur la commune de Berrias-et-Casteljau située dans le département de l' Ardèche et la région Rhône-Alpes [ 1]. L'essentiel des archives se trouve aux archives départementales des Bouches-du-Rhône (56-H 5218 à 5246), relatives au Grand prieuré de Saint-Gilles. Historique [ modifier | modifier le code]
La commanderie a été fondée en 1140 par les Templiers. Le nom de Hugues de Payns est évoqué, ainsi que celui de Raymond Pelet comme ses fondateurs. Elle est réputée pour être une des plus vieilles commanderie de France encore en état. Comme toutes les commanderies occidentales de l'Ordre, elle n'avait pas vocation militaire.
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Source wikipédia
« Simple, forte, aimant l'art et l'idéal, brave et libre aussi, la femme de demain ne voudra ni dominer, ni être dominée. » Louise Michel