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Ambiguïtés à éviter [ modifier | modifier le code]
Il est essentiel, quand on utilise la transformation bilatérale de Laplace, de préciser la bande de convergence. Soit par exemple. Si la bande de convergence est, l'« antécédent » de cette transformation de Laplace est la fonction de Heaviside. En revanche, si la bande de convergence est, cet antécédent est. Convolution et dérivation [ modifier | modifier le code]
Soit et deux distributions convolables, par exemple ayant chacune un support limité à gauche, ou l'une d'entre elles étant à support compact. Alors (comme dans le cas de la transformation monolatérale),
En particulier, et, donc
Transformées de Laplace des hyperfonctions [ modifier | modifier le code]
On peut étendre la transformation de Laplace au cas de certaines hyperfonctions, dites « hyperfonctions de Laplace » ou « hyperfonctions de type exponentiel » [ 1]. Pour une hyperfonction définie par une distribution, on retrouve la théorie qui précède. Mais par exemple
bien que n'étant pas une distribution (car elle est d'ordre infini localement, à savoir en 0), est une hyperfonction dont le support est et qui
admet pour transformée de Laplace
où désigne la fonction de Bessel de première espèce habituelle, à savoir la fonction entière
On obtient en effet en substituant cette expression dans la précédente
ce qui est bien cohérent avec la définition de puisque.
Ce théorème montre par exemple que l'hyperfonction considérée au paragraphe « Transformées de Laplace des hyperfonctions » n'est pas une distribution ayant son support en 0. Transformée de Fourier-Laplace [ modifier | modifier le code]
En posant, on obtient la transformée de Fourier-Laplace. Considérons, pour simplifier, la transformée de Fourier-Laplace d'une fonction d'une variable réelle. On a alors, par conséquent si la bande de convergence de la transformée de Laplace est, celle de la transformée de Fourier-Laplace est. Notes et références [ modifier | modifier le code]
Voir aussi [ modifier | modifier le code]
Bibliographie [ modifier | modifier le code]
Henri Bourlès, Linear Systems, John Wiley & Sons, 2010, 544 p. ( ISBN 978-1-84821-162-9 et 1-84821-162-7)
Henri Bourlès et Bogdan Marinescu, Linear Time-Varying Systems: Algebraic-Analytic Approach, Springer, 2011, 638 p. ( ISBN 978-3-642-19726-0 et 3-642-19726-4, lire en ligne)
Jean Dieudonné, Éléments d'analyse, vol. 6, Paris, Gauthier-Villars, 1975, 197 p. ( ISBN 2-87647-216-3)
(en) U. Graf, Introduction to Hyperfunctions and Their Integral Transforms: An Applied and Computational Approach, Birkhäuser, 2010, 432 p. ( ISBN 978-3-0346-0407-9 et 3-0346-0407-6, lire en ligne)
(en) Hikosaburo Komatsu, « Laplace transforms of hyperfunctions -A new foundation of the Heaviside Calculus- », J. Fac.
Il peut tout aussi bien s'exprimer à partir de la transformation de Laplace, et on obtient alors l'énoncé suivant:
(1) Théorème de Paley-Wiener:
Pour qu'une fonction entière soit la transformée de Laplace d'une fonction indéfiniment dérivable sur de support inclus dans la "boule" fermée de centre et de rayon, notée, il faut et il suffit que pour tout entier, il existe une constante tels que pour tout appartenant à,
où désigne le produit scalaire usuel dans de et de. (2) Théorème de Paley-Wiener-Schwartz:
Pour qu'une fonction entière soit la transformée de Laplace d'une distribution sur de support inclus dans, il faut et il suffit qu'il existe un entier et une constante tels que pour tout appartenant à,. Un théorème dû à Jacques-Louis Lions donne d'autres informations sur le support d'une distribution à partir de sa transformée de Laplace. Dans le cas d'une seule variable, il prend la forme suivante (voir Inversion):
Pour qu'une fonction holomorphe sur soit la transformée de Laplace d'une distribution sur à support dans la demi-droite, il faut et il suffit que soit majorée, lorsque le réel est assez grand, par un polynôme en.
En analyse, la transformation bilatérale de Laplace est la forme la plus générale de la transformation de Laplace, dans laquelle l' intégration se fait à partir de moins l'infini plutôt qu'à partir de zéro. Définition [ modifier | modifier le code]
La transformée bilatérale de Laplace d'une fonction de la variable réelle est la fonction de la variable complexe définie par:
Cette intégrale converge pour, c'est-à-dire pour appartenant à une bande de convergence dans le plan complexe (au lieu de, désignant alors l'abscisse de convergence, dans le cas de la transformation monolatérale). De façon précise, dans le cadre de la théorie des distributions, cette transformée « converge » pour toutes les valeurs de pour lesquelles (en notation abusive) est une distribution tempérée et admet donc une transformation de Fourier. Propriétés élémentaires [ modifier | modifier le code]
Les propriétés élémentaires (injectivité, linéarité, etc. ) sont identiques à celles de la transformation monolatérale de Laplace.
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Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA, Math, vol. 34, 1987, p. 805-820
(en) Alan V. Oppenheim (en) et Ronald W. Schafer (en), Discrete-Time Signal Processing, Prentice-Hall, 2007, 1132 p. ( ISBN 978-0-13-206709-6 et 0-13-206709-9)
Laurent Schwartz, Méthodes mathématiques pour les sciences physiques, Hermann, 1965 ( ISBN 2-7056-5213-2)
Laurent Schwartz, Théorie des distributions, Paris, Hermann, 1966, 418 p. ( ISBN 2-7056-5551-4)
Articles connexes [ modifier | modifier le code]
Transformation de Laplace
Distribution tempérée
Hyperfonction
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