La table des transformées de Fourier/Laplace
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- Tableau de transformée de fourier
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Définition: Soit $f$ une fonction de $L^1(\mathbb R)$. On appelle
transformée de Fourier de $f$, qu'on note $\hat f$ ou $\mathcal F(f)$, la fonction définie sur $\mathbb R$ par:
Tous les mathématiciens et physiciens ne s'accordent pas sur la définition de la transformée de Fourier,
la normalisation peut changer. On rencontre par exemple souvent la définition:
Des facteurs $2\pi$ ou $\sqrt{2\pi}$ pourront changer dans les propriétés qu'on donne ci-après. Propriétés
Soit $f$ et $g$ deux fonctions de $L^1(\mathbb R)$. On a le tableau suivant:
$$
\begin{array}{c|c}
\textrm{fonction}&\textrm{transformée de Fourier}\\
\hline
f(x)e^{i\alpha x}&\hat f(t-\alpha)\\
f(x-\alpha)&e^{-it\alpha}\hat f(t)\\
(-ix)^n f(x)&\hat f^{(n)}(t)\\
f^{(p)}(x)&(it)^p \hat f(t)\\
f\star g&\sqrt{2\pi} \hat f \cdot \hat g\\
f\cdot g&\frac 1{\sqrt{2\pi}}\hat f\star \hat g\\
f\left(\frac x{\lambda}\right)&|\lambda|\hat f(\lambda t). Transformée de Fourier. \end{array}$$
En outre, pour tout $f$ de $L^1(\mathbb R)$, on prouve que $\hat f$ est continue et que $\hat f$ tend vers 0 en l'infini.
Enfin, si f est $\mathcal C^k$, il existe une constante $A>0$ telle que:
$$\forall x\in \mathbb R, \ |\hat f(x)|\leq \frac A{(1+|x|)^p}. $$
On dit que la transformée de Fourier échange la régularité et la décroissance en l'infini. ASI_TDS: La table des transformées de Fourier/Laplace. Transformées de Fourier classiques
Inversion de la transformée de Fourier
Sous certaines conditions, il est possible d'inverser la transformée de Fourier, c'est-à-dire de retrouver $f$ en connaissant $\hat f$. Théorème: Si $f$ et $\hat f$ sont tous deux dans $L^1(\mathbb R)$, on pose:
Alors $g$ est une fonction continue sur $\mathbb R$, et $g=f$ presque partout. On en déduit que deux fonctions intégrables qui ont même transformée de Fourier sont égales presque partout.
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