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D'autres caractéristiques non négligeables: elle contient un garage. Ville: 10170 Méry-sur-Seine
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Information sur Longueville-sur-Aube
Dans le département de l'Aube se trouve la localité de Longueville-sur-Aube, et qui est rurale et tranquille. Elle compte une population de 127 habitants. Les habitations âgées composent la plus grosse partie de l'habitat. Toutes les annonces immobilières de Maison à vendre à Longueville (47200). Au niveau du climat, la commune profite de un ensoleillement de 1756 heures par an, des précipitations de 686 mm par an. La population est en majorité âgée, elle se caractérise notamment par une part de retraités de 35%. Elle est également distinguée par une importante quotité de propriétaires (92%), un pourcentage de logement social HLM bas (0%), un taux de petits terrains comparativement très inférieur à la moyenne: 0%, une année moyenne de contruction proportionnellement très ancienne (1947) et une densité de population très inférieure (10 hab. /km²) mais un pourcentage d'utilisation de la voiture de 13% et un taux de déplacement vers un lieu de travail extérieur de 83%.
Nous allons voir dans ce cours, la définition et la méthode à suivre pour résoudre une équation produit nul à l'aide de plusieurs exemples corrigés. Définition d'une équation produit nul: Une équation produit nul est une équation constituée d'un membre donné sous forme de produit de facteurs et l'autre membre est nul. Exemples: 4 x ( 5 x + 2) = 0 7 x ( x – 2) = 0 ( x + 2) ( 1 – 5 x) = 0 3 x ( 4 x – 1)( -2 x + 5) = 0 x ( 3 x – 1) ( -2 x + 1) = 0 Un produit de plusieurs facteurs est nul veut dire qu'il y'a au moins un de ses facteurs qui est nul. On s'appui sur ce théorème pour résoudre une équation produit nul. Exemple 1: a x b = 0 a x b = 0 ⟺ a = 0 ou b = 0 Exemple 2: a x b x c = 0 a x b x c = 0 ⟺ a = 0 ou b = 0 ou c = 0 Exercice d' application en Vidéo ( 2 équations produit nul) Dans la vidéo ci-dessous, tu as la méthode à suivre pour résoudre une équation produit nul.
En mathématiques du collège [ 1] ou du début du lycée [ 2], une équation produit nul [ 1] ou plus simplement équation produit [ 3] est une équation dont un membre est un produit et l'autre membre est égal à zéro. Comme un produit de plusieurs nombres est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul, résoudre une équation produit nul revient à résoudre les équations obtenues en égalant chacun des facteurs du produit à 0, et les solutions de toutes ces équations sont les solutions de l'équation produit initiale. Exemple [ modifier | modifier le code]
L'équation x ( x − 6) = 0 est une équation produit, elle est équivalente à x = 0 ou x − 6 = 0, et a donc deux solutions, 0 et 6. Principe [ modifier | modifier le code]
La propriété qui permet de simplifier la résolution de l'équation produit nul, « un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul », se décompose en:
« si un au moins des facteurs d'un produit est nul, alors le produit est nul » (sens direct);
« si un produit est nul, alors l'un au moins de ses facteurs est nul » (réciproque).
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Soit la fonction affine définie sur
par, avec et et. 1. Résolution d'une équation du premier
degré à une inconnue
b. Résolution d'une équation du type
mx + p = 0
Exemple
Résoudre l'équation. La solution est. c. Résolution d'une équation produit
d. Résolution d'une équation quotient
2. Résolution d'une inéquation du premier
a. Signe d'une fonction affine
Rappel: le signe d'une fonction affine de la
forme dépend du signe de. Deux cas sont possibles:
si, alors le tableau de signes de la fonction affine
est le suivant:
c. Résoudre une inéquation produit
Résoudre une inéquation produit,
c'est résoudre une inéquation du
type avec,, et, et. Cela revient à étudier le signe de chacun
des facteurs, c'est-à-dire le signe de
et celui de. Remarque
Les inéquations du type, et sont aussi des
inéquations produit. Méthode pour résoudre une
inéquation produit à l'aide
d'un tableau de signes:
Déterminer la valeur de qui annule chacun des facteurs. Construire un tableau de signes avec une ligne pour
les valeurs de rangées dans
l'ordre croissant, une ligne pour chaque
facteur et une ligne pour le produit des deux
facteurs.
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Niveau moyen
Résoudre les équations suivantes sur les intervalles indiqués. Il est demandé de se ramener à des équations de type produit nul après avoir factorisé. $(E_1): \qquad 2x^3+x^2-6x=0$ sur $\mathbb{R}$. $(E_2): \qquad 3e^{1-x}-xe^{1-x}=0$ sur $\mathbb{R}$. $(E_3): \qquad e^{-x}-2e^{-2x}=0$ sur $\mathbb{R}$. $(E_4): \qquad x\ln(x+2)=x$ pour $x\gt -2$. Factorisons le membre de gauche de $(E_1)$ par $x$. $(E_1) \Leftrightarrow x(2x^2+x-6)=0$
Cette équation est de type produit nul. $(E_1) \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad 2x^2+x-6=0$
Cette dernière équation est une équation du 2nd degré $ax^2+bx+c=0$ avec $a=2$, $b=1$ et $c=-6$. Calculons le discriminant. \Delta & =b^2-4ac \\
& =1^2-4\times 2\times(-6) \\
& = 1+48 \\
& = 49
On constate que $\Delta \gt 0$ donc cette équation admet exactement deux solutions:
x_1 & =\frac{-1-\sqrt{49}}{2\times 2} \\
& = \frac{-1-7}{4} \\
& = \frac{-8}{4} \\
&=-2
et
x_2 & =\frac{-1+\sqrt{49}}{2\times 2} \\
& = \frac{-1+7}{4} \\
& = \frac{6}{4} \\
&=1, 5
Finalement, l'équation $(E_1)$ admet trois solutions: $0$, $-2$ et $1, 5$.
Résoudre Une Équation Produit Nulle
est une valeur interdite car
elle annule le dénominateur, donc on place une
double barre dans la ligne du quotient. Étape 5: on place les signes en
repérant le signe du coefficient de du numérateur et du
dénominateur. Ici, pour le numérateur, le
coefficient –7 est négatif donc le signe
de est positif avant le 0 et
négatif après. Pour le
dénominateur, le coefficient 1 est positif donc
est négatif avant le 0
et positif après. Étape 6: on applique maintenant la
règle des signes par colonne. Étape 7: grâce à la
l'inéquation a pour ensemble de solutions:.
Résoudre Une Équation Produit Nuls
Equations et inéquations Résoudre dans R \mathbb{R} les équations suivantes: ( 3 x + 4) ( 5 x − 10) = 0 \left(3x+4\right)\left(5x-10\right)=0 Correction ( 3 x + 4) ( 5 x − 10) = 0 \left(3x+4\right)\left(5x-10\right)=0. Il s'agit d'une e ˊ quation produit nul. \text{\red{Il s'agit d'une équation produit nul. }} 3 x + 4 = 0 3x+4=0 ou 5 x − 10 = 0 5x-10=0 D'une part: \text{\red{D'une part:}} résolvons 3 x + 4 = 0 3x+4=0 qui donne 3 x = − 4 3x=-4. D'où: x = − 4 3 x=-\frac{4}{3} D'autre part: \text{\red{D'autre part:}} résolvons 5 x − 10 = 0 5x-10=0 qui donne 5 x = 10 5x=10. D'où: x = 10 5 = 2 x=\frac{10}{5}=2 Les solutions de l'équation sont alors: S = { − 4 3; 2} S=\left\{-\frac{4}{3};2\right\} ( x + 2) ( 4 x − 7) = 0 \left(x+2\right)\left(4x-7\right)=0 Correction ( x + 2) ( 4 x − 7) = 0 \left(x+2\right)\left(4x-7\right)=0. }} x + 2 = 0 x+2=0 ou 4 x − 7 = 0 4x-7=0 D'une part: \text{\red{D'une part:}} résolvons x + 2 = 0 x+2=0 qui donne x = − 2 x=-2. D'autre part: \text{\red{D'autre part:}} résolvons 4 x − 7 = 0 4x-7=0 qui donne 4 x = 7 4x=7.
D'où: x = 7 4 x=\frac{7}{4} Les solutions de l'équation sont alors: S = { − 2; 7 4} S=\left\{-2;\frac{7}{4}\right\} ( 8 x − 7) ( 2 x − 18) = 0 \left(8x-7\right)\left(2x-18\right)=0 Correction ( 8 x − 7) ( 2 x − 18) = 0 \left(8x-7\right)\left(2x-18\right)=0. }} 8 x − 7 = 0 8x-7=0 ou 2 x − 18 = 0 2x-18=0 D'une part: \text{\red{D'une part:}} résolvons 8 x − 7 = 0 8x-7=0 qui donne 8 x = 7 8x=7. D'où: x = 7 8 x=\frac{7}{8} D'autre part: \text{\red{D'autre part:}} résolvons 2 x − 18 = 0 2x-18=0 qui donne 2 x = 18 2x=18. D'où: x = 18 2 = 9 x=\frac{18}{2}=9 Les solutions de l'équation sont alors: S = { 7 8; 9} S=\left\{\frac{7}{8};9\right\} x ( x − 3) = 0 x\left(x-3\right)=0 Correction x ( x − 3) = 0 x\left(x-3\right)=0. }} x = 0 x=0 ou x − 3 = 0 x-3=0 D'une part: \text{\red{D'une part:}} résolvons x = 0 x=0 qui donne x = 0 x=0. D'autre part: \text{\red{D'autre part:}} résolvons x − 3 = 0 x-3=0 d'où: x = 3 x=3 Les solutions de l'équation sont alors: S = { 0; 3} S=\left\{0;3\right\} ( 7 x − 1) ( 2 x + 11) = 0 \left(7x-1\right)\left(2x+11\right)=0 Correction ( 7 x − 1) ( 2 x + 11) = 0 \left(7x-1\right)\left(2x+11\right)=0. }}