3. Le nuage de points associé à la série ($t_i, z_i$) est représenté ci-dessous. Déterminer à l'aide de votre calculatrice une équation de la droite de régression de $z$ en $t$. 4. La droite est tracée ci-dessous. L'ajustement est très satisfaisant. Pourquoi? 5. Heureux, le biologiste en déduit alors une formule permettant d'estimer la densité bactérienne $y$ en fonction du temps $t$. Déterminer cette formule. 6. Estimer par le calcul la densité bactérienne (arrondie à la centaine) au bout de 6 heures et trente minutes. 1. Le biologiste écarte un ajustement affine car les points ne se distribuent pas autour d'une droite. 2. $z_8=\ln 40\, 000≈10, 612$
3. Cours de Maths de terminale Option Mathématiques Complémentaires ; Statistiques (Nuage de points. Point moyen. Ajustement affine. Droite des moindres carrés. Coefficient de corrélation). A l'aide de la calculatrice, on trouve que la droite de régression de $z$ en $t$ a pour équation: $z=at+b$, avec $a≈0, 200$ et $b≈9, 21$
4. A l'aide de la calculatrice, on trouve que le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série double vérifie: $r≈1$. C'est quasi parfait! On a largement $|r|>0, 9$. L'ajustement est donc très satisfaisant.
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5. On a alors: $z=0, 2t+9, 2103$ et $z=\ln y$
Donc: $\ln y=0, 2t+9, 2103$
Et par là: $y=e^{0, 2t+9, 2103}$
6. 6h30 donnent $t=6, 5$, et donc: $y=e^{0, 2×6, 5+9, 2103}≈36\, 691$
On peut estimer que la densité bactérienne au bout de 6 heures et trente minutes est d'environ $36\, 700$ bactéries par millilitre. Réduire...
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Plus elle est grande, plus les points sont dispersés par rapport à leur point moyen. Propriété
$\cov (x;y)={1}/{n}(x_1×y_1+x_2×y_2+... +x_n×y_n)-x↖{−}×y↖{−}$
Noter que cette seconde formule donnant la covariance génère potentiellement moins d'erreurs d'arrondis que la première car les moyennes (souvent approchées) n'interviennent qu'une fois. On reprend l'exemple précédent concernant les notes de 25 élèves. Les calculs seront arrondis à 0, 001 près. Déterminer la variance de chacune des séries simples. Déterminer la covariance de la série double. On utilise la seconde formule pour chacun des calculs. On a: $V(x)={1}/{25}(6, 9^2+12, 7^2+... +6, 3^2)-x↖{−}^2={3072, 78}/{25}-10, 592^2≈10, 721$
Donc: $V(x)≈10, 721$
$V(y)={1}/{25}(10^2+10^2+... +6, 3^2)-y↖{−}^2={3666, 48}/{25}-11, 536^2≈13, 580$
Donc: $V(y)≈13, 580$
$\cov (x;y)={1}/{25}(6, 9×10+12, 7×10+... Les statistiques - le cours. +6, 3×6, 3)-x↖{−}×y↖{−}={3329, 76}/{25}-10, 592×11, 536≈11, 001$
Donc: $\cov (x;y)≈11, 001$
Ces 3 valeurs se trouvent directement à l'aide de la calculatrice.
Cette valeur se trouve directement à l'aide de la calculatrice. On a $|r|>0, 9$. Par conséquent, un ajustement affine se justifie. On calcule $10a+b≈10×1, 026+0, 67≈10, 9$
Un élève ayant 10 de moyenne en première peut espérer avoir environ 11 de moyenne en terminale. Dans le cas où un ajustement par une courbe semble justifié, on tente, par un changement de variable, de se ramener à un ajustement affine. La méthode est explicitée dans l'exemple qui suit... Un biologiste étudie la croissance d'une culture bactérienne en fonction du temps. Au départ de l'expérience, la densité bactérienne est de $10\, 000$ bactéries par millilitre. Le biologiste mesure la densité bactérienne à divers instants $t_i$ ( en heures)et obtient le tableau suivant:
Le nuage de points associé à la série ($t_i, y_i$) est représenté ci-dessous. Les statistiques terminale stmg et. 1. La forme du nuage suggère qu'un ajustement est concevable. Le biologiste écarte un ajustement affine. Pour quelle raison? 2. Le biologiste, très inspiré, choisit une nouvelle variable $z_i=\ln y_i$, et il construit le tableau suivant ( dans lequel il arrondit les valeurs des $z_i$ au millième)
Que vaut $z_8$?
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