Accueil > Terminale ES et L spécialité > Dérivation > Dériver l'exponentielle d'une fonction
mercredi 9 mai 2018, par
Méthode
Pour comprendre cette méthode, il est indispensable d'avoir assimilé celles-ci:
Dériver les fonctions usuelles. Dériver une somme, un produit par un réel. Dériver un produit. Dérivée fonction exponentielle terminale es 8. Dériver un quotient, un inverse. Nous allons voir ici comment dériver l'exponentielle d'une fonction c'est à dire une fonction de forme $e^u$. En fait, c'est plutôt facile: on considère une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I$. Alors $e^u$ est dérivable sur $I$ et:
$\left(e^u\right)'=e^u\times u'$
Notons que pour bien dériver l'exponentielle d'une fonction, il est nécessaire de:
connaître les dérivées des fonctions usuelles (polynômes, inverse, racine, exponentielle, logarithme népérien, etc... ) appliquer la formule de dérivation de l'exponentielle d'une fonction en écrivant bien, avant de se lancer dans le calcul, ce qui correspond à $u$ et à $u'$. Remarques
Attention, une erreur classique est d'écrire que $\left(e^u\right)'=e^u$.
Dérivée Fonction Exponentielle Terminale Es Histoire
Résoudre dans \mathbb{R} l'équation suivante: e^{2x}+2e^x-3 = 0 Etape 1 Poser X=e^{u\left(x\right)} On pose la nouvelle variable X=e^{u\left(x\right)}. Etape 2 Résoudre la nouvelle équation On obtient une nouvelle équation de la forme aX^2+bX+c = 0. Afin de résoudre cette équation, on calcule le discriminant du trinôme:
Si \Delta \gt 0, le trinôme admet deux racines X_1 =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et X_2 =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}. Mathématiques : Contrôles en Terminale ES 2012-2013. Si \Delta = 0, le trinôme admet une seule racine X_0 =\dfrac{-b}{2a}. Si \Delta \lt 0, le trinôme n'admet pas de racine. L'équation devient:
X^2+2X - 3=0
On reconnaît une équation du second degré, dont on peut déterminer les solutions à l'aide du discriminant:
\Delta= b^2-4ac
\Delta= 2^2-4\times 1 \times \left(-3\right)
\Delta=16
\Delta \gt 0, donc l'équation X^2+2X - 3=0 admet deux solutions:
X_1 =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2 -\sqrt{16}}{2\times 1} =-3 X_2 =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2 +\sqrt{16}}{2\times 1} =1 Il arrive parfois que l'équation ne soit pas de la forme aX^2+bX+C = 0.
Dérivée Fonction Exponentielle Terminale Es 7
Notre mission: apporter un enseignement gratuit et de qualité à tout le monde, partout. Plus de 4500 vidéos et des dizaines de milliers d'exercices interactifs sont disponibles du niveau primaire au niveau universitaire. Découvrez l'accès par classe très utile pour vos révisions d'examens! Khan Academy est une organisation à but non lucratif. Faites un don ou devenez bénévole dès maintenant!
Dérivée Fonction Exponentielle Terminale Es 8
Bonjour,
Me revoici de nouveau coincé devant un sujet:
Énoncé:
On considère la fonction numérique f définie sur l'intervalle [-2;1] par f(x)=0, 85+x-e 2x. 1. a. Résoudre une équation avec la fonction exponentielle - 1ère - Méthode Mathématiques - Kartable. Déterminer la fonction dérivée de f. Calculez les nombre dérivés, arrondis à 0, 001 près, f'(-0, 35) et f'(-0, 34). Mon ébauche:
f(x)=0, 85+x-e 2x (U+V+k)'=U'+V'
avec U=-e 2x U'=-2e 2x et V= x V'=1
d'où f'(x)= -2e 2x +1
Calcul du nombre dérivé f'(-0, 35):
avec f(-0, 35)=0, 85+(-0, 35)-e 2(-0, 35) =0, 55-e -0, 7 0, 053
et f(-0, 35+h)=0, 85+(-0, 35+h)-e 2(-0, 35+h) =0, 55+h-e -0, 7+2h
d'où
or c'est impossible il me semble, non?
Dérivée Fonction Exponentielle Terminale Es Salaam
Nous allons utiliser la formule de dérivation de la somme de deux fonctions (voir à ce sujet Dériver une somme, un produit par un réel) puis du produit d'une fonction par un réel et, enfin, la formule de dérivation de l'exponentielle d'une fonction. $u(x)=3x$ et $u'(x)=3$. $v(x)=-x$ et $v'(x)=-1$. Dérivée fonction exponentielle terminale es salaam. g'(x) & = 2\times \left( e^{3x} \times 3 \right)+\frac{1}{2}\times \left( e^{-x} \times (-1) \right) \\
& = 6e^{3x}-\frac{e^{-x}}{2} \\
On remarque que $h=u\times v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$. Nous allons utiliser la formule de dérivation du produit de deux fonctions (voir à ce sujet Dériver un produit) et nous aurons besoin de la formule de dérivation de l'exponentielle d'une fonction. $u(x)=x^2$ et $u'(x)=2x$. $v(x)=e^{-x}$ et $v'(x)=e^{-x}\times (-1)=-e^{-x}$. h'(x) & = 2x\times e^{-x}+x^2\times \left(-e^{-x}\right) \\
& = 2xe^{-x}-x^2e^{-x} \\
& = (2x-x^2)e^{-x}
On remarque que $k=u\times v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$. Nous allons utiliser, comme précédemment, la formule de dérivation du produit de deux fonctions et nous aurons besoin de la formule de dérivation de l'exponentielle d'une fonction.
A éviter absolument! Cette formule est plus générale que celle concernant la dérivée de la fonction exponentielle. On peut d'ailleurs retrouver cette dernière en posant $u(x)=x$. Un exemple en vidéo
(en cours de réalisation)
D'autres exemples pour s'entraîner Niveau facile
Dériver les fonctions $f$, $g$, $h$ et $k$ sur les intervalles indiqués. $f(x)=e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$
$g(x)=e^{3x+4}$ sur $\mathbb{R}$
$h(x)=e^{1-x^2}$ sur $\mathbb{R}$
$k(x)=e^{-4x+\frac{2}{x}}$ sur $]0;+\infty[$
Voir la solution
On remarque que $f=e^u$ avec $u$ dérivable sur $\mathbb{R}$. $u(x)=-x$ et $u'(x)=-1$. Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et:
$\begin{align}
f'(x) & = e^{-x}\times (-1) \\
& = -e^{-x}
\end{align}$
On remarque que $g=e^u$ avec $u$ dérivable sur $\mathbb{R}$. $u(x)=3x+4$ et $u'(x)=3$. ANNALES THEMATIQUES CORRIGEES DU BAC S : FONCTION EXPONENTIELLE. Donc $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et:
g'(x) & = e^{3x+4}\times 3 \\
& = 3e^{3x+4}
On remarque que $h=e^u$ avec $u$ dérivable sur $\mathbb{R}$. $u(x)=1-x^2$ et $u'(x)=-2x$. Donc $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et:
h'(x) & = e^{1-x^2}\times (-2x) \\
& = -2xe^{1-x^2}
On remarque que $k=e^u$ avec $u$ dérivable sur $]0;+\infty[$.
Les vins rouges pétillants se font rares sur les tables françaises. Mais en Italie et sur d'autres continents, ils ont leurs adeptes. Découvrez ces vins étonnants de fraîcheur. Par Agence de presse APEI
Publié le 19 Sep 21 à 11:18
Le vin rouge pétillant, encore discret en France, mérite pourtant qu'on s'y intéresse. (©Barbamauro –) On vous dit bulles, vous pensez forcément au champagne, au crémant, bref, au vin blanc ou rosé. Pourtant le vin rouge se conjugue aussi en version pétillante. On vous dit tout. A la mode transalpine Avouons-le: en France, sa consommation reste confidentielle. Mais nos amis transalpins en sont amateurs. En Italie, à l'heure de l'apéritif, on déguste volontiers le fameux Lambrusco, issu de la région de Modène, ou le Barbera frizzante. Ces vins produits dans le Nord de l'Italie sont plutôt bon marché et ils offrent une fraîcheur et une légèreté bienvenues pour les apéritifs ensoleillés. A travers le monde Les Italiens ne sont pas les seuls à proposer du vin rouge effervescent.
Vin Rouge Pétillante
La production de champagne et de vins blancs pétillants satisfait parfaitement la demande des consommateurs, aussi bien en qualité qu'en diversité. En France, de rares producteurs proposent du vin rouge pétillant. Il faut dire que cette production n'a pas d'AOC sur le territoire. (©Barbamauro –) De ce fait, les viticulteurs français ne se sont pas vraiment intéressés à cette production qui n'a pas d'AOC (appellation d'origine contrôlée) Un made in France Toutefois, si vous souhaitez surprendre vos convives et mettre à votre table un vin pétillant made in France, c'est possible. Il existe une production marginale de vin rouge mousseux en Bourgogne. Ses notes de cassis et de framboise s'accordent parfaitement avec un gâteau au chocolat ou un dessert à base de fruits rouges. L'abus d'alcool est dangereux pour la santé. A consommer avec modération. Francine Carrière Cet article vous a été utile? Sachez que vous pouvez suivre Actu dans l'espace Mon Actu. En un clic, après inscription, vous y retrouverez toute l'actualité de vos villes et marques favorites.
Vin Rouge Pétillant Lambrusco
On utilise alors le gaz carbonique libéré pendant cette fermentation lors de la mise en bouteille pour accentuer les bulles. Les vins sont légers, fruités, assez sucrés et plus pétillants. Cette méthode reste toutefois interdite sur la production d'AOC. Avec quoi déguster un vin rouge effervescent? Les vins rouges effervescents sont à consommer de préférence jeunes pour laisser la place aux fruits. Idéals pour remplacer le traditionnel apéritif à base de cidre ou de bière, pensez à le servir très frais. Son côté sucré ne s'harmonise guère avec un plat salé, préférez le donc soit avant le repas, soit au dessert pour finir par une note de fraîcheur. Ces vins s'associeront très bien avec des desserts chocolatés ou à base de fruits rouges. Alors, avez-vous envie de tester ces bulles si ce n'est pas déjà fait?
Vin Rouge Pétillant
Lambrusco – Vin rouge pétillant italien ©Lambrusco DOP
Le Lambrusco est traditionnellement un vin italien pétillant produit du côté de Modène en Emilie-Romagne (région du Nord de l'Italie). Traditionnellement rouge, on le voit maintenant décliné dans une version blanc ou rosé. Un bon Lambrusco se reconnaît à sa couleur pourpre, dense, qui colore les verres et à sa mousse exubérante. Il est plein de fraîcheur et fruité. Au nez, on retrouve des parfums de framboise, de cerise et de mûre. Le Lambrusco est un vin jeune, frais, à boire dans l'année. C'est là que vous apprécierez le plus sa vivacité et ses arômes. Son nom provient de sa famille de cépages, les … Lambrusco 🙂 Il en existe plus de 60 variétés. Raisins Lambrusco ©Lambrusco DOP
Il est excellent à l'apéritif (j'aime bien en rosé d'ailleurs à l'apéro) et il accompagne parfaitement la cuisine italienne. Je pense aux pâtes, aux risotto mais aussi à la charcuterie de cette région comme le jambon de Parme. Comment conserver le Lambrusco?
Vin Rouge Pétillant Italien
Voici quelques conseils utiles pour sélectionner un Lambrusco: Les meilleurs outils pour le vin Du débutant au professionnel, les bons outils pour le vin garantissent la meilleure expérience de consommation. Achetez maintenant Doux Lambrusco: Si vous l'aimez un peu sucré, assurez-vous d'en choisir un qui indique «Semisecco», «Amabile» ou «Dolce» sur l'étiquette. Sweet Lambrusco se marie bien avec les gaufres, les cupcakes de velours rouge et la tarte aux baies. Lambrusco sec: Si vous l'aimez sec, recherchez les mots «Secco» sur l'étiquette. Dry Lambrusco se marie très bien avec des choses comme les hamburgers, les hot dogs et les pizzas au pepperoni. Lambrusco léger: Lambrusco di Sorbara et Lambrusco Rosato (rosé) sont les deux styles les plus légers. Vous constaterez que ces vins présentent plus de saveurs de fraise et de rhubarbe avec une acidité acidulée et peu ou pas de tanin. «Amabile» dans ce style, c'est comme boire un soda à la framboise piquant par une chaude après-midi. Les versions «Secco» ont plus de saveurs de rhubarbe et de fraise avec une finale acidulée et sèche.
Les origines des bulles
L'histoire des vins pétillants est étroitement liée à celle des vins mousseux, avec lesquels ils partagent les différentes méthodes de production. Ce qui les différencie, c'est d'abord la pression interne de la bouteille: pas moins de 3 bar pour les vins mousseux et entre 1 et 2, 5 bar pour les vins pétillants, dans des conditions de 20°C. L'origine des bulles dans le jus de raisin fermenté est très ancienne, puisque son existence est déjà attestée dans le Livre des Psaumes, puis dans Homère, Virgile, Horace, Properce, Lucanus et Pline l'Ancien. À l'époque de la Rome antique, deux types principaux étaient connus: l'Aigleucos était un nectar sucré mélangé à du miel né dans des amphores en terre cuite scellées placées dans de l'eau froide afin d'arrêter la fermentation et de garder le dioxyde de carbone à l'intérieur du récipient; l'Ancinatico était au contraire un moût de raisins secs partiellement fermenté dans des amphores scellées. Ces types étaient également connus par les attributs de "spumenscens", "titillans" et "saliens" qui indiquaient la vivacité des bulles de CO2.