Produit scalaire dans l'espace: Fiches de révision | Maths terminale S
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Droites et plans de l'espace
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- Produit scalaire dans l'espace de hilbert
- Produit scalaire dans l'espace de toulouse
- Plat à cake rectangulaire simple
- Plat à cake rectangulaire di
Produit Scalaire Dans L'espace De Hilbert
Le terme perpendiculaires s'emploie uniquement pour des droites sécantes (donc coplanaires). Propriétés
Soient deux droites d 1 d_{1} et d 2 d_{2}, u 1 → \overrightarrow{u_{1}} un vecteur directeur de d 1 d_{1} et u 2 → \overrightarrow{u_{2}} un vecteur directeur de d 2 d_{2}. d 1 d_{1} et d 2 d_{2} sont orthogonales si et seulement si les vecteurs u 1 → \overrightarrow{u_{1}} et u 2 → \overrightarrow{u_{2}} sont orthogonaux, c'est à dire si et seulement si u 1 →. u 2 → = 0 \overrightarrow{u_{1}}. \overrightarrow{u_{2}}=0
Définition (Droite perpendiculaire à un plan)
Une droite d d est perpendiculaire (ou orthogonale) à un plan P \mathscr P si et seulement si elle est orthogonale à toutes les droites incluses dans ce plan. Droite perpendiculaire à un plan
Une droite orthogonale à un plan coupe nécessairement ce plan en un point. Il n'y a donc plus lieu ici de distinguer orthogonalité et perpendicularité. La droite d d est perpendiculaire au plan P \mathscr P si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes incluses dans ce plan.
Produit Scalaire Dans L'espace De Toulouse
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On munit l'espace d'un repère orthonormé et on considère
les vecteurs et. car les vecteurs et sont orthogonaux entre eux et. On a donc la propriété suivante:
Exemple: si, dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs et
alors
et. 2 Equation cartésienne d'un plan
Remarque: Il existe évidemment une infinité de vecteurs normaux à un plan: ce sont tous les vecteurs colinéaires au vecteur. Propriété: Un vecteur est dit normal à un plan si, et seulement si, il est orthogonal à deux vecteurs non
colinéaires de ce plan. Cette propriété va nous permettre d'une part de vérifier facilement qu'un vecteur est normal à un plan et,
d'autre part, de déteminer les coordonnées d'un vecteur normal à un plan. La propriété directe découle de la définition. Nous n'allons donc prouver que la réciproque. Soient et deux vecteurs non colinéaires d'un plan,
un vecteur de et un vecteur orthogonal à et. Il existe donc deux réels et tels que. Ainsi
Le vecteur est donc orthogonal à tous les vecteurs du plan. Il lui est par conséquent orthogonal.
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