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Fonction inverse
Définition
Pour tout $x \in \mathbb{R}^*$, la fonction inverse est la fonction définie par $f(x) = \dfrac{1}{x}$. On remarquera que l'ensemble de définition de la fonction inverse est $\mathbb{R}^*$ ou encore $\left]-\infty;0\right [\cup \left]0;+\infty\right[$ car on ne peut pas diviser par 0. Cours fonction inverse calculator. La représentation graphique de la fonction inverse est une hyperbole. Chaque point de la courbe est le symétrique d'un autre par la symétrie centrale de centre $O(0;0)$: la fonction inverse est une fonction impaire. Variations
La fonction inverse est décroissante pour $x$ strictement négatif et décroissante pour $x$ strictement positif. Son tableau de variation est le suivant:
La double barre utilisée signifie que $0$ est une val
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On dit que 0 0 est une valeur interdite. Fonction Inverse | Superprof. La propriété que nous venons de voir permet de comparer deux inverses:
2 < 5 2<5 donc 1 2 > 1 5 \dfrac{1}{2}>\dfrac{1}{5} car la fonction inverse est strictement décroissante sur] 0; + ∞ []0\;+\infty[ et donc en particulier sur [ 2; 5] [2\;\ 5];
− 6 < − 3 -6<-3 donc − 1 6 > − 1 3 -\dfrac{1}{6}>-\dfrac{1}{3} car la fonction inverse est strictement décroissante sur] − ∞; 0 []-\infty\;\ 0[ et donc en particulier sur [ − 6; − 3] [-6\;\ -3]. À retenir
La fonction inverse inverse l'ordre sur] − ∞; 0 []-\infty;\ 0[ et sur] 0; + ∞ []0\;+\infty[:
si 0 < a < b 0 < a < b alors 1 a > 1 b \dfrac1a>\dfrac1b car la fonction inverse est strictement décroissante sur] 0; + ∞ []0\; +\infty[;
si a < b < 0 a < b < 0 alors 1 a > 1 b \dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b} car la fonction inverse est strictement décroissante sur] − ∞; 0 []-\infty\;\ 0[. Résolution d'équations et inéquations à l'aide de la fonction inverse
Résolvons l'équation 1 x = 2 \dfrac{1}{x}=2. On trace la représentation de la fonction inverse et la droite d'équation y = 2 y=2 parallèle à l'axe des abscisses.
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Définition:
La fonction qui à tout réel x différent de 0 associe son inverse
1 x est appelée fonction inverse. La fonction inverse est définie sur ℝ*
Exemples:
• L'image de 3 par la fonction inverse est
1 3. • L'antécédent de -2 par la fonction inverse est -0, 5. Remarque:
• Tout nombre réel différent de 0 admet un unique antécédent par la fonction inverse. Cours fonction inverse saint. Sens de variations:
La fonction inverse est décroissante sur]-∞;0[ et décroissante sur]0;+∞[. Courbe représentative:
La courbe représentative de la fonction inverse dans un repère orthonormé d'origine O est une hyperbole. Courbe représentative de la fonction inverse
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Comment comparer des images avec la fonction de référence, la fonction inverse 1/x? L'expression de la fonction Inverse est: f(x) = 1/x
Le domaine de définition de la fonction inverse est: Df = R* =]-∞; 0[∪]0; +∞[
La fonction inverse est strictement décroissante sur l'intervalle:]-∞; 0[
et l'intervalle:]0; +∞[
ATTENTION: il y a une discontinuité (« un saut ») de la fonction en 0. On peut comparer les images d'une fonction f quand on connaît ses variations sur un même intervalle où f est continu. Cours : Fonction inverse. Pour les variations décroissantes, on a vu:
a plus petit que b
f(a) plus grand que f(b)
Quand on veut comparer les images sur les 2 intervalles]-∞; 0[ et]0; +∞[, on a juste à comparer les signes:
Pour x∈]-∞; 0[ ∶ 1/x est négatif
Pour x∈]0; +∞[ ∶ 1/x est positif
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sur] –∞; 0 [ Soient a et b deux réels de] –∞; 0 [ tels que a < b Donc on a: a < b < 0 On cherche le signe de f (b) - f (a) Or a < b, donc a – b < 0 a < b < 0, donc ab > 0 Donc: Donc f (b) – f (a) < 0 càd f (b) < f (a) On a montré que f est décroissante sur] –∞; 0 [. Tableau de variation: ↑ la double barre indique que la fonction inverse n'est pas définie pour 0 Représentation graphique x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 y –0, 25 –0, 33 –0, 5 –1 – 1 0, 5 0, 33 0, 25 La courbe représentative est une hyperbole. Propriété: La courbe représentation de la fonction inverse admet un centre de symétrie qui est l'origine du repère. Pour tout réel x non nul, f (–x) = –f (x). On dit que la fonction f est impaire. La plateforme qui connecte profs particuliers et élèves
Vous avez aimé cet article? Cours fonction inversé gratuit. Notez-le! Olivier
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02 La fonction inverse
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