On peut donc utiliser le fait que $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\x<0}}f(-x)=-1$. D'où,
$$\begin{align}\lim_{\substack{x\to 0\\x<0}}f(x)&=\lim_{\substack{x\to 0\\x<0}}(f(x)-x)\\&=-1-0\\&=-1\end{align}$$
Les deux limites de $f$ à gauche de $0$ et à droite de $0$ existent et sont égales. Par conséquent, $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=-1$. FIN
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Rappelons tout d'abord que l'ensemble de définition de la fonction tangente est: c'est-à-dire:
Soit et soit l'unique entier vérifiant:
Cet encadrement équivaut à: ce qui montre que
Par ailleurs, les applications: et sont bijections réciproques l'une de l'autre (par définition de l'arctangente! ); donc:
Il reste à mettre tout ceci bout à bout. Pour on notant l'entier défini par:
la première égalité résultant de la périodicité de et la seconde de la relation
Finalement:
Soit un réel positif ou nul. De tout cela, on conclut que:
Soit telle que:
▷ Supposons que soit à valeurs dans Alors En particulier pour et donc est l'application nulle. Exercices corrigés sur la partie entire dans. ▷ Supposons maintenant et fixons un tel. Comme: ce qui montre que la restriction de à chaque intervalle du type (avec est constante. Notons cette constante. En choisissant et dans:
En particulier:
Donc
Réciproquement, les fonctions constantes conviennent toutes. Ce sont les solutions cherchées. Considérons l'application
Ses restrictions aux segements de la forme avec sont continues par morceaux.
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D'où l'encadrement,
$$-n-1\leq E\left(x-\frac{1}{x}\right)\leq -n$$
L'idée maintenant est reconstituer l'expression de $f$ en multipliant cette inégalité par celle démontrée plus haut, à savoir, $\displaystyle\frac{1}{n+1}0$. Mais attention avant de procéder à la multiplication car les membres de l'inégalité $\displaystyle -n-1\leq E\left(x-\frac{1}{x}\right)\leq -n$ sont négatifs. Exercices et corrigé sn4 | mathematiques. Il faut donc d'abord les multiplier par $-1$
$$n\leq -E\left(x-\frac{1}{x}\right)\leq n+1$$
Et par suite,
$$\frac{n}{n+1}\leq -x\, E\left(x-\frac{1}{x}\right)\leq\frac{n+1}{n}$$
D'après la relation $\displaystyle n\leq\frac{1}{x}0}}-x\, E\left(x-\frac{1}{x}\right)=1$. Puis,
$$\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}x\, E\left(x-\frac{1}{x}\right)=-1$$
Pour la limite de $f$ à gauche de $0$, je propose d'utiliser la propriété (B) rappelée plus haut, à savoir que pour tout réel $x$, on a:
$$E(-x)=-E(x)-1, \qquad$$
Donc pour tout réel $x<0$,
$$\begin{align}f(x)&=x\, E\left(x-\frac{1}{x}\right)\\&=x\left(-E\left(-x+\frac{1}{x}\right)-1\right)\\&=(-x)E\left((-x)-\frac{1}{-x}\right)-x\\&=f(-x)-x\end{align}$$
Or ici: $-x$ est strictement positif.
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reste à étudier la continuité en n.
tu as f(n)=n et pour n-1<=x
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