Mesures du saut de dualité et du centrage
Le contrôle des itérés dans les algorithmes de points intérieurs se fait par plusieurs « mesures »: mesure du saut de dualité, mesure du centrage et mesure de l'admissibilité. Si l'on veut se donner une cible sur le chemin central primal-dual C, il est nécessaire de savoir près de quel point central l'itéré courant z se trouve. Il n'y aurait en effet pas de sens à se donner une cible qui soit plus éloignée de la solution que ne l'est l'itéré courant. Trouver le point central le plus proche de z n'est cependant pas un problème simple, ni d'ailleurs bien posé car, le chemin central n'étant pas un convexe fermé, la projection de z sur C n'est en général pas bien définie (proposition 2. 25). Par contre, l'image de C par l'application surjective (et bijective si A est surjective, voir l'exercice 18. 2) p: z = (x, y, s) ∈ Fs 7→ (x1s1,..., xnsn) ∈ R n ++ (18. Les algorithms pour les nuls pdf 2019. 15) est la demi-droite {µe: µ > 0}, si bien que la projection dans l'espace d'arrivée de cette application se fait trivialement en résolvant le problème
Sur la complexité itérative des algorithmes
Contrairement à l'algorithme du simplexe, les méthodes de points intérieurs ne sont pas des algorithmes à terminaison finie: ils ne trouvent pas la solution en un nombre fini d'étapes.
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De manière à prévenir le phénomène des petits pas décrit ci-dessus, les algorithmes vont maintenir les itérés suffisamment proches du chemin central étudié à la section 18. 1. Nous montrerons en effet dans chaque cas que, dans ces conditions, le pas α pris le long de la direction de Newton est borné inférieurement par une constante strictement positive en O(n −ω), où ω > 0 dépend de l'approche algorithmique, en particulier du type de voisinage du chemin central où sont maintenus les itérés. Télécharger PDF A quoi rêvent les algorithmes. Nos vies EPUB Gratuit. Même si l'on peut regretter que la borne inférieure sur le pas dépende de n (il ne semble pas possible d'éviter cela), on est au moins assuré que les pas ne deviendront pas arbitrairement petits. Cette dépendance en n aura une incidence directe sur la complexité itérative des algorithmes, c'est-à-dire sur le nombre d'itérations qu'ils requièrent pour s'approcher d'une solution à ε > 0 près. Pour des raisons évidentes, on dit que les algorithmes qui viennent d'être brièvement décrits sont des méthodes de suivi de chemin.
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La solution que l'on recherche par ces algorithmes, le centre analytique de la face optimale situé au bout de chemin central, est un point singulier parce que la jacobienne du système de Newton n'y est en général pas inversible. On ne peut donc pas appliquer directement les techniques de suivi de chemin que l'on utilise dans les méthodes d'homotopie par exemple. Celles mises en œuvre pour suivre le chemin central dans les méthodes de points intérieurs sont originales. Télécharger PDF
Les algorithmes pour les Nuls grand EPUB Gratuit. Elles dépendent des algorithmes, mais elles relèvent presque toujours d'un principe que l'on peut voir comme la poursuite d'un objectif fuyant, ce que l'on a schématisé à la figure 18. 1: en l'itéré zk ∈ Fs de l'itération k, on se fixe pour objectif un point z(µk) sur le chemin central C, mais après avoir fait un pas de Newton dans sa direction (parfois plusieurs pas) conduisant à zk+1, on change d'objectif en visant un autre point z(µk+1) sur le chemin central, plus près de la solution (µk+1 < µk). On se rapproche ainsi petit à petit de la solution cherchée, laquelle est en quelque sorte inaccessible directement.
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