Dans la suite de ce cours, les fonctions utilisées
sont définies sur un intervalle I et x 0 est un point
de I. 1. Continuité et discontinuité d'une
fonction en un point
Soit f une
fonction définie sur un
intervalle I, et
x 0 ∈ I. Dire que
f est
continue en x 0 signifie que. Dire que f est
discontinue en x 0 signifie que
f n'est pas
continue en x 0. Exemples
• La fonction f représentée
ci-dessous est continue en x 0. La
fonction g
est discontinue en x 0. Autrement
dit, on voit graphiquement qu'une fonction est continue
en un point x 0 si la
courbe passe par le point M 0 ( x 0; ƒ ( x 0))
sans coupure. Sinon, la fonction est discontinue en ce
point. • Soit la fonction f définie sur
par f ( x) = x 2 + 3 x + 4 si
x > 1;
f ( x) = 5 + 3 x si x ≤ 1.
et f (1) = 5 + 3 × 1 = 8. Demontrer qu une suite est constante macabre. On a bien
On en déduit que f est continue en 1. • Soit la fonction f définie par
f ( x) = si x ≠ 0,
et f (0) = 1..
Donc la fonction f est continue en 0. • La fonction partie entière,
notée E, est la fonction
définie sur par E ( x) = k avec k entier relatif tel
que k ≤ x < k + 1.
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Demontrer Qu Une Suite Est Constante Les
accueil / sommaire cours première S / suites monotones
1°) Définition
Soit a un entier naturel fixé, la suite (u n) n≥a est une suite à termes réels de premier terme u a.
a) suite constante
La suite est constante ( ou stationnaire) s'il existe une constante réelle k telle que pour tout n ≥ a, u n = k ( c'est-à-dire pour tout n ≥ a, u n = u n+1).
Le but de l'exercice est de démontrer que si $A$ est connexe par arcs et $f$ est localement constante, alors $f$ est constante. Pour cela, on fixe $a, b\in A$ et on considère $\phi:[0, 1]\to A$ un chemin continu tel que $\phi(0)=a$ et $\phi(1)=b$. On pose $t=\sup\{s\in [0, 1];\ f(\phi(s))=f(a)\}$. Démontre que $t=1$. Enoncé Soient $A$ une partie connexe par arcs d'un espace vectoriel normé, et soit $B$ une partie de $A$ qui est à la fois ouverte et fermée relativement à $A$. On pose $f:A\to \mathbb R$ définie par $f(x)=1$ si $x\in B$ et $f(x)=0$ si $x\notin B$. Démontrer que $f$ est continue. En déduire que $B=\varnothing$ ou $B=A$. Demontrer qu une suite est constante les. Enoncé
Démontrer que les composantes connexes par arcs d'un ouvert de $\mathbb R^n$ sont ouvertes. En déduire que tout ouvert de $\mathbb R$ est réunion d'intervalles ouverts deux à deux disjoints. Démontrer que cette réunion est finie ou dénombrable. Connexité
Enoncé Soient $A, B$ deux parties d'un espace vectoriel normé $E$. Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses?
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Information sur Cabara
La localité de Cabara, et qui est privilégiée, paisible et campagnarde, se trouve dans le département de la Gironde et compte 447 habitants. Beaucoup d'habitations sont ancienes. Les habitants sont surtout âgés, on remarque un taux de fécondité très inférieur mais une quotité de retraités de 22%. L'entité jouit d'un climat caractérisé par un ensoleillement de 2161 heures par an, mais des précipitations de 779 mm par an.