Le maximum de ƒ est 6, il est atteint pour x = 4. Soit ƒ la fonction définie sur I = [0; + ∞[ par: ƒ(x) = 3 - √x
ƒ(0) = 3 et pour tout x, ƒ(x) ≤ 3
Donc ƒ admet un maximum qui est 3, atteint en 0
Minimum
Le minimum m de ƒ est la plus petite des valeurs ƒ(x) pour x appartenant à D. Sur le graphique, c'est l'ordonnée du point le plus bas situé sur la courbe. Le minimum de ƒ (s'il existe) est un nombre de la forme ƒ(a) avec a ∈ I tel que:
ƒ(x) ≥ ƒ(a) pour tout x de I. « le minimum d'une fonction est la plus petite valeur atteinte par cette fonction ». Le minimum de ƒ est -2, il est atteint pour x = 1. Soit f la fonction définie sur ℜ par: ƒ(x) = x² + 5
Pour tout x, x² ≥ 0
donc x² + 5 ≥ 0 + 5
donc ƒ(x) ≥ 5
Pour tout x, ƒ(0) = 5 et ƒ(x) ≥ ƒ(0)
donc ƒ atteint en 0 un minimum égal à 5. Extremum
Un extremum est un maximum ou un minimum. On connaît le tableau de variations d'une certaine fonction ƒ:
Le maximum de ƒ est 1
Le minimum de ƒ est -8
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Tableau De Variation De La Fonction Carré Des
Preuve Propriété 3
On appelle $f$ la fonction carré. On considère deux réels $u$ et $v$. On a alors $f(u)-f(v) =u^2-v^2 = (u-v)(u + v)$
Montrons tout d'abord que la fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty;0]$. Si $u$ et $v$ sont deux réels tels que $u < v \pp 0$. Puisque $u0$. Donc $f(u)-f(v) > 0$ et $f(u) > f(v)$. La fonction $f$ est bien strictement décroissante sur $]-\infty;0]$. Montrons maintenant que la fonction $f$ est croissante sur $[0;+\infty[$. Si $u$ et $v$ sont deux réels tels que $0 \pp u < v$. Puisque $u$ et $v$ sont tous les deux positifs, $u+v >0$. Par conséquent $(u-v)(u+v) <0$. Donc $f(u)-f(v) < 0$ et $f(u) < f(v)$. La fonction $f$ est bien strictement croissante sur $]-\infty;0]$. On obtient ainsi le tableau de variations suivant:
2. La fonction inverse
Pro priété 4: La fonction inverse $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$.
C'est le cas par exemple de la fonction racine carrée.
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