Étant donné un réseau alors on peut définir le réseau dual (comme formes dans l' espace vectoriel dual à valeurs entières sur ou via la dualité de Pontryagin). Alors, si l'on considère la distribution de Dirac multidimensionnelle qu'on note encore avec, on peut définir la distribution
Cette fois-ci, on obtient une formule sommatoire de Poisson en remarquant que la transformée de Fourier de est (en considérant une normalisation appropriée de la transformée de Fourier). Cette formule est souvent utilisée dans la théorie des fonctions thêta. Définition | Coefficient de Poisson | Futura Sciences. En théorie des nombres, on peut généraliser encore cette formule au cas d'un groupe abélien localement compact. En analyse harmonique non-commutative, cette idée est poussée encore plus loin et aboutit à la formule des traces de Selberg et prend un caractère beaucoup plus profond. Un cas particulier est celui des groupes abéliens finis, pour lesquels la formule sommatoire de Poisson est immédiate ( cf. Analyse harmonique sur un groupe abélien fini) et possède de nombreuses applications à la fois théoriques en arithmétique et appliquées par exemple en théorie des codes et en cryptographie ( cf.
Notez la notation vectorielle utilisée pour éviter l'usage de boucles. et pour les conditions initiales à l'intérieur de la grille, au potentiel nul:
V[1:N, 1:N] = V0
La matrice C, initialisée à 0, contient la répartition des charges sur le domaine de calcul. Ici, en l'occurence, je place une charge Q positive dans le premier quadrant du domaine, et une charge négative -Q dans le troisième quadrant du domaine. C = zeros([N+1, N+1])
C[N/4, N/4] = Q
C[3*N/4, 3*N/4] = -Q
Suit la boucle de relaxation dont le code est:
while ecart > EPS:
iteration += 1
Vprec = ()
V[1:-1, 1:-1]= 0. 25*(Vprec[0:-2, 1:-1]+V[2:, 1:-1]+Vprec[1:-1, 0:-2]+V[1:-1, 2:]+C[1:-1, 1:-1])
ecart = ((V-Vprec))
La boucle de relaxation tournera tant que la précision déterminée par EPS n'est pas atteinte. Coefficient de Poisson — Wikipédia. La variable ecart, le critère de convergence, sera calculée dans la boucle. Notez dans la boucle le compteur d'itérations et aussi, avant et après la boucle, l'acquisition de l'heure pour déterminer le temps de calcul (fonction time()).
Oxydes [ modifier | modifier le code]
Sur 160 oxydes testés en 2018 [ 1], un seul est auxétique dans les conditions ambiantes, la cristobalite α [ a] ( ν = −0, 164 [ 2]), et elle le reste de 20 à 1 500 °C. Le quartz a aussi un coefficient de Poisson nettement plus petit que les autres oxydes: ( ν = 0, 08 à température ambiante. Formule de poisson physique et sportive. Pour 97, 4% des oxydes le coefficient de Poisson est compris entre 0, 150 et 0, 400 ( moyenne: 0, 256; écart type: 0, 050). D'une manière générale le coefficient de Poisson est corrélé positivement avec la masse volumique: (en excluant la cristobalite et le quartz) mais le coefficient de détermination r 2 n'est pas très élevé: 0, 28. La corrélation est meilleure quand on ne considère que les oxydes cristallisant dans un même système réticulaire:
Coefficient de Poisson des oxydes [ 1]
Système [ α]
n [ β]
Équation de corrélation
r 2
hexagonal
8
0, 99
trigonal
24
0, 83
cubique
70
0, 46
tétragonal
19
0, 36
orthorhombique
33
0, 27
↑ L'unique oxyde monoclinique étudié a un coefficient de Poisson égal à 2, 271.
Les valeurs expérimentales obtenues pour un matériau quelconque sont souvent voisines de 0, 3. Relations [ modifier | modifier le code]
Cas d'un matériau isotrope [ modifier | modifier le code]
Le changement de volume ΔV / V dû à la contraction du matériau peut être donné par la formule (uniquement valable pour de petites déformations):
Démonstration
Soit un cube constitué d'un matériau isotrope d'un volume initial,
et de volume final. Où
La relation entre les deux est donc:, soit en développant:
L'hypothèse de petites déformations permet de négliger les termes du second ordre, on obtient alors:
en divisant cette relation par le volume initial:
Le module d'élasticité isostatique () est lié au Module de Young () par le coefficient de Poisson () au travers de la relation:
Cette relation montre que doit rester inférieur à ½ pour que le module d'élasticité isostatique reste positif. Formule de poisson physique nucléaire. On note également les valeurs particulières de ν:
pour ν = 1/3 on a K = E.
pour ν → 0, 5 on a K → ∞ incompressibilité (cas du caoutchouc, par exemple)
Avec le module de Young () exprimé en fonction du module de cisaillement () et de:.
C'est l'idée essentielle qui sous-tend la sommation d'Ewald. Interprétation géométrique [ modifier | modifier le code]
Définitions [ modifier | modifier le code]
Le cercle, ou tore T à une dimension, est une courbe compacte qui peut se représenter comme l' espace quotient de la droite euclidienne ℝ par un sous-groupe discret a ℤ du groupe des isométries:.
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