P(n) un énoncé de variable n entier naturel défini pour tout entier n supérieur ou égale à n 0. Si l'on demande de montrer que l'énoncé P(n) est vrai pour tout n supérieur ou égal à n 0, nous pouvons penser à un raisonnement par récurrence et conduire comme suit le raissonnement:
i) Vérifier que P(n 0) est vrai
ii) Montrer que quelque soit l'entier p ≥ n 0 tel que P(p) soit vrai, P(p+1) soit nécessairement vrai aussi
alors nous pouvons conclure que P(n) est vrai pour tout entier n ≥ n 0. 3) Exercices de récurrence
a) exercice de récurrence
énoncé de l'exercice: soit la suite numérique (u n) n>0 est définie par u 1 = 2 et pour tout n > 0 par la relation u n+1 = 2u n − 3. Démontrer que pour tout entier n > 0, u n = 3 − 2 n−1. Soit l'énoncé P(n) de variable n suivant: « u n = 3 − 2 n−1 », montrons qu'il est vrai pour tout entier n > 0. Récurrence:
i) vérifions que P(1) est vrai, c'est-à-dire a-t-on u 1 = 3 − 2 1−1? par définition u 1 = 2
et
3 − 2 1−1 = 3 - 2 0 = 3 - 1 = 2
donc u 1 = 3 − 2 1−1 et P(1) est bien vrai.
Raisonnement Par Récurrence Somme Des Carrés D
A l'opposé de la vision intuitionniste de Poincaré, il est parfois possible de faire des raisonnement par récurrence (ou tout comme... ) dans des ensembles non dénombrables, en utilisant le lemme de Zorn.
Raisonnement Par Récurrence Somme Des Carrés 3
\end{align}$$
Nous avons bien obtenu l'expression désirée. Ainsi, l'hérédité est vérifiée. Par conséquent, d'après le principe de récurrence, P( n) est vraie pour tout entier naturel n strictement positif. Propriété d'inégalité
Les inégalités sont légèrement plus compliquées à démontrer par récurrence car, vous allez le voir, on n'obtient pas toujours immédiatement ce que l'on veut dans l'hérédité. Considérons l'inégalité suivante:
Pour x > 0, pour tout entier naturel n > 1: \((1+x)^n > 1+nx. \) Inégalité de Bernoulli. Démontrons par récurrence sur n cette inégalité (cela signifie que le " x " sera considéré comme une constante et que seul " n " sera variable). Le premier possible est n = 2. On regarde donc les deux membres de l'inégalité séparément pour n = 2:
le membre de gauche est: \((1+x)^2 = 1+2x+x^2\) le membre de droite est: \(1+2x\)
x étant strictement positif, on a bien: 1+2 x + x ² > 1+2 x. L'initialisation est alors réalisée. Supposons que pour un entier k > 2, la propriété soit vraie, c'est-à-dire que:$$(1+x)^k > 1+kx.
Raisonnement Par Récurrence Somme Des Cartes Contrôleur
Exercice 7. Démontrez que pour tout entier naturel $n$: « $\dsum_{k=0}^{k=n} k^3 =\left[\dfrac{n(n+1)}{2}\right]^2$ ». Exercice 8. Démontrez que pour tout entier naturel $n$: « $\dsum_{k=0}^{k=n} k(k+1) =\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$ ». Exercice 9. On considère la suite $(u_n)$ de nombres réels définie par: $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+6}$. 1°a) Écrire une propriété en fonction de $n$ exprimant que la suite $(u_n)$ est « à termes strictement positifs ». 1°b) Démontrer que la suite $(u_n)$ est « à termes strictement positifs ». 2°a) Écrire une propriété en fonction de $n$ exprimant que la suite $(u_n)$ est majorée par 3. 2°b) Démontrer que la suite $(u_n)$ est majorée par 3. 3°a) Écrire une propriété en fonction de $n$ exprimant que la suite $(u_n)$ est strictement croissante. 3°b) Démontrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante. Exercice 10. Soit ${\mathcal C}$ un cercle non réduit à un point. Soient $A_1$, $A_2, \ldots, A_n$, $n$ points distincts du cercle ${\mathcal C}$. 1°) En faisant un raisonnement sur les valeurs successives de $n$, émettre une conjecture donnant le nombre de cordes distinctes qu'on peut construire entre les $n$ points $A_i$, en fonction de $n$.
Raisonnement Par Récurrence Somme Des Carrés Francais
S n = 1 + 3 + 5 + 7 +... + (2n − 1)
Calculons S(n) pour les premières valeurs de n. S 2 = 1 + 3 = 4
S 3 = 1 + 3 + 5 = 9
S 4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16
S 5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
S 6 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
pour n ∈ {2;3;4;5;6}, S n = n²
A-t-on S n = n² pour tout entier n ≥ 2? Soit l'énoncé P(n) de variable n suivant: « S n = n² »; montons que P(n) est vrai pour tout n ≥ 2.
i) P(2) est vrai on a S 2 = 1 + 3 = 4 = 2². ii) soit p un entier > 2 tel que P(p) est vrai, nous donc par hypothèse S p = p², montrons alors que S p+1 est vrai., c'est que nous avons S p+1 = (p+1)². Démonstration:
S p+1 = S p + (2(p+1) - 1) par définition de S p
S p+1 = S p + 2p + 1
S p+1 = p² + 2p + 1 d'après l'hypothède de récurrence
d'où S p+1 = (p+1)²
CQFD
Conclusion: P(n) est vrai pour tout entier n ≥ 2, donc S n = n² pour tout entier n ≥ 2. Cette démonstration est à comparer avec la démonstration directe de la somme des n premiers impairs de la page. c) exercice sur les dérivées n ième
Soit ƒ une fonction numérique définie sur l'ensemble de définition D ƒ =]−∞;+∞[ \ {−1} par ƒ(x) = 1 / (x + 1) =.
Raisonnement Par Récurrence Somme Des Cartes Mères
Justifier votre réponse. 2°) Démontrer votre conjecture. Corrigé A vous de jouer!
$$
Exemple 4: inégalité de Bernoulli
Exercice 4: Démontrer que:$$\forall x \in]-1;+\infty[, \forall n \in \mathbb{N}, (1+x)^n\geq 1+nx. $$
Exemple 5: Une somme télescopique
Exercice 5: Démontrer que:$$ \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{p(p+1)}=\dfrac{n}{n+1}. $$
Exemple 6: Une dérivée nième
Exercice 6: Démontrer que:$$ \forall n\in \mathbb{N}, \cos^{(n)}(x)=\cos(x+n\dfrac{\pi}{2}) \text{ et} \sin^{(n)}(x)=\sin(x+n\dfrac{\pi}{2}). $$
Exemple 7: Un produit remarquable
Exercice 7: Démontrer que:$$ \forall x\in \mathbb{R}, \forall n\in \mathbb{N} ~ x^n-a^n=(x-a)(x^{n-1}+ax^{n-2}+... +a^{n-1}). $$
Exemple 8: Arithmétique
Exercice 8: Démontrer que:$$ \ \forall n\in \mathbb{N} ~ 3^{n+6}-3^n \text{ est divisible par} 7. $$
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