Soit f: ℝ 2 → ℝ n telle que f et soient continues sur ℝ 2, et soient a et b deux fonctions dérivables de ℝ dans ℝ. Alors, l'« intégrale paramétrique » (généralisée) F définie sur ℝ par:
est dérivable et
Remarque: pour une fonction f qui ne dépend que de la seconde variable, on retrouve bien le théorème fondamental de l'analyse en posant a ( x) = a et b ( x) = x. Théorème de Fubini [ modifier | modifier le code]
Soient par exemple X une partie de ℝ p, Y une partie de ℝ q, et
une application intégrable. Alors, d'après le théorème de Fubini, la fonction est intégrable pour presque tout x de X, l'intégrale paramétrique F définie par
est intégrable sur X, et l'on a:
(et même chose en intervertissant les rôles de x et y). Cours et méthodes Intégrales à paramètre en MP, PC, PSI, PT. Exemples de calcul [ modifier | modifier le code]
Calculs élémentaires [ modifier | modifier le code]
Exemple:
On peut vérifier en utilisant la règle de Leibniz que pour tous réels a et b strictement positifs:. Fixons a > 0, et soient F et g définies sur]0, +∞[ par:. On a clairement F ( a) = g ( a) = 0.
- Intégrale à paramétrer
Intégrale À Paramétrer
Notes et références [ modifier | modifier le code]
Notes [ modifier | modifier le code]
↑ Cette distance OF = OF' est aussi égale au petit diamètre de Féret de la lemniscate, c. à son épaisseur perpendiculairement à la direction F'OF. Références [ modifier | modifier le code]
Voir aussi [ modifier | modifier le code]
Fonction lemniscatique
Liens externes [ modifier | modifier le code]
Coup d'œil sur la lemniscate de Bernoulli, sur le site du CNRS. Lemniscate de Bernoulli, sur MathCurve. Intégrale à paramétrer. (en) Eric W. Weisstein, « Lemniscate », sur MathWorld
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17 avril 2017 à 1:02:17
Bonjour,
Je souhaite étudier la continuité de l'intégrale de \(\frac{\arctan(x*t)}{1 + t^2}\) sur les bornes: t allant de 0 à + l'infini, avec x \(\in\) R, pour cela il faudrait trouver une fonction ϕ continue, intégrable et positive sur I (I domaine de définition de t -> \(\frac{\arctan(x*t)}{1 + t^2}\)) et dépendante uniquement de t qui puisse majorer la fonction précédente. J'ai essayé de majorer par Pi/2 mais sans succès (du moins on m'a compté faux au contrôle). Quelqu'un aurait une idée? Merci d'avance
Cordialement
- Edité par JonaD1 17 avril 2017 à 1:14:45
17 avril 2017 à 2:04:22
Bonjour! Tu veux dire que tu as majoré la fonction intégrée par juste \( \pi/2 \)? La fonction constante égale à \( \pi/2 \) n'est évidemment pas intégrable sur \(]0, +\infty[ \). Base d'épreuves orales scientifiques de concours aux grandes écoles. Ou bien tu as effectué la majoration suivante? \[ \frac{\arctan (xt)}{1+t^2} \leq \frac{\pi/2}{1+t^2} \]
Là c'est intégrable sur \(]0, +\infty[ \), ça devrait convenir.