Vous aviez dit qu'il y avait un lien entre les fonctions logarithme et exponentielle. Je n'en vois pas? Il existe une propriété qui lie les fonctions exponentielle et logarithme. En effet, se sont deux fonctions réciproques. Cela veut dire que si l'on compose un nombre par la fonction logarithme puis par la fonction exponentielle (ou inversement), on ne change rien au nombre de départ:
e ln x = x = ln (e x)
De plus, les courbes représentatives de ces deux fonctions sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x comme vous le verrez dans peu de temps. Un dernier théorème avant de voir les propriétés de cette fonction extraordinaire. Théorème de la fonction exponentielle
Soit k ∈. Il existe une unique fonction f dérivable et strictement positive sur telle que f' = kf et f(0) = 1. Les fonction exponentielle terminale es.wikipedia. Cette fonction est e kx. 2 - Propriétés de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle vérifie: f(x + y) = f(x) × f(y)
Soit: e a + b = e a × e b
C'est la propriété fondamentale de cette fonction.
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Voici les autres. Propriétés
Propriétés de la fonction exponentielle
Voici un grand nombre de propriétés sur cette fonction exponentielle. La fonction exponentielle est strictement croissante sur. Pour tout réel x, e x > 0. Pour tout a, b ∈,
e a < e b ⇔ a < b
e a = e b ⇔ a = b
Pour tout x > 0, e ln x = x. Pour tout réel x, ln (e x) = x. La fonction exponentielle est dérivable sur et pour tout réel x, ( e x)' = e x. Si u est une fonction dérivable sur, alors:
( e u)' = u ' e u
Pour tout x, y ∈,
e x + y = e x e y
Pour tout réel x,
Pour tout x ∈ et tout n ∈,
( e x) n = e nx
Ces propriétés sont primordiales. Cela doit être un automatisme pour vous. Terminale ES/L : La Fonction Exponentielle. Vous deviez déjà en connaître certaines, relatives à la fonction puissance. Je veux juste insister sur une chose en particulier. Retenez ceci: la exponentielle est toujours positive. Elle peut, contrairement à sa soeur logarithme, "manger" du négatif, mais le résultat est toujours positif. 3 - Tracé de la fonction exponentielle
Le domaine de définition de la fonction exponentielle est:.
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1. Définition
Il existe une seule fonction dérivable sur telle que:
On appelle cette fonction la fonction exponentielle
et on la note. On note le nombre par. D'où:
Exemple:
Soit la fonction définie
par alors
2. Relation fonctionnelle de la fonction exponentielle
3. Propriétés algébriques
Soit et deux nombres réels et
un nombre entier naturel. On a les
propriétés algébriques
suivantes:
Exemple
Ces propriétés algébriques peuvent
être mémorisées en pensant aux
propriétés des puissances et elles se
démontrent en utilisant la relation fonctionnelle
de la fonction exponentielle. Preuves:
( n facteurs)
(somme de n termes de
a)
4. Le nombre e
Le nombre e
est un nombre réel défini par e 1 = e.
La notation e
est la valeur exacte de ce nombre. Sa valeur
approchée est
Remarque: par combinaison, les valeurs e n sont
aussi des valeurs exactes. Montrons que. On a donc
Résoudre dans l'équation. Terminale S : La Fonction Exponentielle. Donner la valeur exacte de la solution puis une valeur
approchée à 0, 01 près. 5. Signe de exp(x) pour tout nombre réel x
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elle est posée comme ça, où c'est le résultat d'un calcul que tu as fait? Posté par Leile re: Équation avec exponentielles 21-05-22 à 17:41 bonjour Mateo_13,
je n'avais pas vu ta réponse. Je te laisse poursuivre. Les fonction exponentielle terminale es 6. Posté par Dododesiles re: Équation avec exponentielles 21-05-22 à 18:15 Merci à vous deux pour vos réponses! Leile, je dois utiliser cette équation pour mon grand oral. Et oui, elle est juste comme cela Leile @ 21-05-2022 à 17:39 bonjour,
Posté par Leile re: Équation avec exponentielles 21-05-22 à 19:28 Dododesiles,
OK. Tu pourras montrer à quoi tu aboutis, Mateo_13 ou moi te dirons si c'est correct. PS: évite de citer les messages, c'est inutile mais ca prend de la place. Posté par Dododesiles re: Équation avec exponentielles 23-05-22 à 19:05 Bonsoir, j'ai donc essayé en posant un X, mais je ne vois pas du tout comment factoriser 😶
Posté par Leile re: Équation avec exponentielles 23-05-22 à 19:57 bonsoir,
si tu as "essayé avec un X " tu as donc suivi la piste donnée par Mateo_13,
où en es tu sur cette piste?
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Dans le repère orthonormé ci-dessus, le point M est le point de C ln d'abscisse y. Ses coordonnées sont donc M ( y; ln( y)). Son symétrique par rapport à ∆: y = x est le point N de coordonnées N (ln( y); y). On a donc
y N = exp( x N) car exp( x N) = exp(ln( y)) = y d'après la propriété 7. Donc N ∈ C exp.
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Propriétés
Règles de calcul des puissances
Voici les propriétés sur les puissances, a et b non nuls et m et n entiers:
Rien à ajouter. Vous connaissez. 3 - II - Etude de la fonction avec a > 0
Soit f(x) = a α = e α ln a.
f est définie et dérivable sur comme composition de fonction dérivables. Calculons sa dérivée:
f '(x) = (ln a)e x ln a = a x ln a
A présent, nous allons distinguer deux cas: a < 1 et a > 1. Cas a < 1:
La dérivée a α = e α ln a < 0. Calcul des limites:
Son tableau de variations:
Représentons la fonction pour deux valeurs de a choisie:. Cas a > 1:
La dérivée a α = e α ln a > 0. Fonction exponentielle Terminale : cours, exercices & annales. 4 - Croissance comparée
Nous pouvons maintenant présenter la fonciton exponentielle.
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Durée: 1h 47min
Date de sortie: 2015
Réalisé par: Mark Osborne
Acteurs: Clara Poincaré, André Dussollier, Florence Foresti
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Date de sortie: 29 juillet 2015 (1h46min)
Réalisé par: Mark Osborne
Avec: Clara Poincaré, André Dussollier, Florence Foresti
Genre: Animation
Nationalité: Français
Synopsis et détails:
A partir de 3 ans
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