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Par exemple, pour le calcul de l'inverse de la transformée de Laplace d'une fraction rationnelle, on décompose, et on cherche dans les tables. On dispose aussi du théorème suivant pour inverser la transformée de Laplace. Théorème (formule d'inversion de Bromvitch): Soit $F(z)=F(x+iy)$, analytique pour $x>x_0$, une fonction sommable en $y$, pour tout $x>x_0$. Alors $F$ est une transformée de Laplace, dont l'original est donné par:
Cette dernière intégrale se calcule souvent en utilisant le théorème des résidus.
Transformée de Laplace: Cours-Résumés-Exercices corrigés
Une des méthodes les plus efficaces pour résoudre certaines équations différentielles est d'utiliser la transformation de Laplace. Une analogie est donnée par les logarithmes, qui transforment les produits en sommes, et donc simplifient les calculs. La transformation de Laplace transforme des fonctions f(t) en d'autres fonctions F(s). La transformée de Laplace est une transformation intégrale, c'est-à-dire une opération associant à une fonction ƒ une nouvelle fonction dite transformée de Laplace de ƒ notée traditionnellement F et définie et à valeurs complexes), via une intégrale. la transformation de Laplace est souvent interprétée comme un passage du domaine temps, dans lequel les entrées et sorties sont des fonctions du temps, dans le domaine des fréquences, dans lequel les mêmes entrées et sorties sont des fonctions de la « fréquence ». Plan du cours Transformée de Laplace
1 Introduction
2 Fonctions CL
3 Définition de la transformation de Laplace
4 Quelques exemples
5 Existence, unicité, et transformation inverse
6 Linéarité
7 Retard fréquentiel ou amortissement exponentiel
8 Calcul de la transformation inverse en utilisant les tables
9 Dérivation et résolution d' équations différentielles
10 Dérivation fréquentielle
11 Théorème du "retard"
12 Fonctions périodiques
13 Distribution ou impulsion de Dirac
14 Dérivée généralisée des fonctions
15 Changement d'échelle réel, valeurs initiale et finale
16 Fonctions de transfert
16.
Tableau Transformée De Laplace De La Fonction Echelon Unite
Définition, abscisses de convergence
On appelle fonction causale toute fonction nulle sur $]-\infty, 0[$ et continue par morceaux sur $[0, +\infty[$. La fonction échelon-unité est la fonction causale $\mathcal U$ définie par $\mathcal U(t)=0$ si $t<0$ et
$\mathcal U(t)=1$ si $t\geq 0$. Si $f$ est une fonction causale, la transformée de Laplace de $f$ est définie par
$$\mathcal L(f)( p)=\int_0^{+\infty}e^{-pt}f(t)dt$$
pour les valeurs de $p$ pour lesquelles cette intégrale converge. On dit que $f$ est à croissance exponentielle d'ordre $p$ s'il existe $A, B>0$ tels que,
$$\forall x\geq A, |f(t)|\leq Be^{pt}. $$
On appelle abscisse de convergence de la transformée de Laplace de $f$ l'élément $p_c\in\overline{\mathbb R}$ défini par
$$p_c=\inf\{p\in\mathbb R;\ f\textrm{ est à croissance exponentielle d'ordre}p\}. $$
Proposition: Si $p>p_c$, alors l'intégrale $\int_0^{+\infty}e^{-pt}f(t)dt$ converge absolument. En particulier,
$\mathcal L(f)(p)$ est défini pour tout $p>p_c$. Propriétés de la transformée de Laplace
La transformée de Laplace est linéaire:
$$\mathcal L(af+bg)=a\mathcal L(f)+b\mathcal L(g).
Définition: Si $f$ est une fonction localement intégrable, définie sur,
on appelle transformée de Laplace de $f$ la fonction:
En général, la convergence de l'intégrale n'est pas assurée pour tout $z$. On appelle abscisse de convergence absolue de la transformée de Laplace le réel:
Eventuellement, on peut avoir. On montre alors que, si, l'intégrale converge absolument. est alors une fonction définie, et même holomorphe, dans le demi-plan. Transformées de Laplace usuelles:
Règles de calcul:
Soit $f$ (resp. $g$) une fonction, $F$ (resp. $G$) sa transformée de Laplace, d'abscisse de convergence $\sigma$ (resp.
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Fiche mémoire sur les transformées de Laplace usuelles
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Fiche: Table des transformées de Laplace Transformée de Laplace/Fiche/Table des transformées de Laplace », n'a pu être restituée correctement ci-dessus. Transformées de Laplace directes
( Modifier le tableau ci-dessous)
Fonction
Transformée de Laplace et inverse
1
Transformées de Laplace inverses
Transformée de Laplace
1
La théorie des distributions est l'outil mathématique adapté. On retiendra simplement que la théorie des distributions justifie mathématiquement nos calculs en prenant en compte, de manière transparente pour l'utilisateur, les discontinuités. Produit de convolution
Pour les applications, l'intérêt majeur de la transformée de Laplace − comme d'ailleurs sa cousine la transformée de Fourier− est de transformer en opérations algébriques simples des opérations plus complexes pour les fonctions originales. Ainsi la dérivation devient un simple produit par p. C'est aussi le cas du produit de convolution: la transformée de Laplace (usuelle) du produit de convolution de deux fonctions est le produit de leurs transformées de Laplace. Toutefois notre loi de comportement viscoélastique (<) fait intervenir une dérivée. C'est la raison pour laquelle on utilise, plutôt que la transformée de Laplace classique, la transformée de Laplace-Carson obtenue en multipliant par p la transformée de Laplace classique.
$$
Théorème: Soit $f$ une fonction causale et posons $g(t)=\int_0^t f(x)dx$. Alors, pour tout $p>\max(p_c, 0)$, on a
$$\mathcal L(g)(p)=\frac 1p\mathcal L(f)(p). $$
Valeurs initiales et valeurs finales
Théorème:
Soit $f$ une fonction causale telle que $f$ admette une limite en $+\infty$. Alors
$$\lim_{p\to 0}pF(p)=\lim_{t\to+\infty}f(t). $$
Soit $f$ une fonction causale. Alors
$$\lim_{p\to +\infty}pF(p)=f(0^+). $$
Table de transformées de Laplace usuelles
$$\begin{array}{c|c}
f(t)&\mathcal L(f)( p) \\
\mathcal U(t)&\frac 1p\\
e^{at}\mathcal U(t), \ a\in\mathbb R&\frac 1{p-a}\\
t^n\mathcal U(t), \ n\in\mathbb N&\frac{n! }{p^{n+1}}\\
t^ne^{at}\mathcal U(t), \ n\in\mathbb N, \ a\in\mathbb R&\frac{n!